Аннотация результатов, полученных в 2015 году
Рассмотрено дифференциальное включение (д.в.) с постоянным параметром и для него изучена задача о сближении. Предложены схемы конструирования множества разрешимости и максимального α-слабо инвариантного множества в задаче. Введено понятие квазигамильтониана д.в. с параметром и осуществлена унификация д.в., важная для теории и приложений. Выявлены свойства бесконечных наборов д.в. в дифференциальной игре сближения, полезные при конструировании решения задачи о сближении. В задаче о сближении нелинейной управляемой системы в конечномерном евклидовом пространстве предложена попятная (во времени) процедура приближенного вычисления множества разрешимости и обоснована ее сходимость. Предложен алгоритм построения разрешающих управлений и на его базе проведено моделирование задач о сближении нестационарных нелинейных механических систем. Для класса задач оптимального управления на бесконечном интервале времени с аффинной по управлению системой и не обязательно ограниченным множеством геометрических ограничений на управление доказана теорема о непустоте и ограниченности множества оптимальных управлений. Полученный результат применен к исследованию простейшей модели оптимального экономического роста с возобновляемым ресурсом. В качестве следствия получен критерий устойчивости оптимального экономического роста в данной модели. Изучена структура сингулярного множества в плоской задаче о быстродействии с круговой индикатрисой для случая невыпуклого целевого множества. Разработаны и реализованы в виде вычислительных программ алгоритмы построения негладкой аппроксимации функции оптимального результата. Предложены алгоритмы аппроксимирующих покрытий плоских ограниченных множеств объединением конечного числа кругов равного радиуса, позволяющие упростить задачу аппроксимации разрешающих конструкций при численном решении динамических задач управления. В области исследований моделей экономического роста разработаны алгоритмы для построения оптимальных траекторий в условиях адаптивного пропорционального развития. Выполнен анализ чувствительности фазовых портретов гамильтоновых систем для моделей роста ресурсозависимой экономики в рамках конструкций решения задач управления с интегральными ограничениями. Проведена оценка структуры гамильтоновых систем, возникающих в принципе максимума Понтрягина для задач оптимального управления с бесконечным горизонтом. В теории динамических игр разработаны декомпозиционные алгоритмы поиска равновесных решений, сочетающих конкурентные характеристики по Нэшу и кооперативную оптимизацию по Парето. Предложены методы построения равновесных траекторий в эволюционных биматричных играх на основе конструкций обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби и оценки сопряженных производных в рамках негладкого анализа. Разработаны аппроксимации конфликтно-управляемых функционально-дифференциальных систем запаздывающего и нейтрального типов при помощи систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка. Предложена процедура взаимного отслеживания между движениями исходной и аппроксимирующей систем. Доказана устойчивость процедуры к структурным возмущениям, вычислительным и измерительным погрешностям. С использованием разработанной процедуры доказано существование цены и оптимальных стратегий управления в классе стратегий с поводырем в дифференциальной игре для динамической системы, движение которой описывается функционально-дифференциальными уравнениями нейтрального типа в форме Дж. Хейла, и показателя качества, который оценивает историю движения, реализовавшуюся к терминальному моменту времени. Рассмотрена задача об управлении в условиях помех движением линейной функционально-дифференциальной системы с запаздыванием при показателе качества, который оценивает историю движения системы и реализации управления и помехи. Предложены два метода для вычисления величины оптимального гарантированного результата управления и построения схемы управления, которая обеспечивает этот результат. Первый метод основан на подходящей аппроксимации показателя качества, второй – на разработанной конечномерной аппроксимации динамической системы. Рассмотрены примеры, приведены результаты численных экспериментов. Получена асимптотическая формула для вычисления магнетосопротивления анизотропного проводника, подключенного по схеме, указанной для измерения коэффициента Холла в работе Н.Н. Поляков, Об измерении коэффициента Холла и электропроводимости анизотропных проводников // Заводская лаборатория, 1989. № 3, С. 20-22. Разработаны методы нахождения асимптотики некоторых многомерных интегралов, сингулярно зависящих от малого параметра.

Аннотация результатов, полученных в 2016 году
В задаче о сближении в фиксированный момент времени нелинейных управляемых систем с неопределенным постоянным параметром и наборов дифференциальных включений развита теория и предложены методы построения приближенного решения. Предложен алгоритм приближенного восстановления значения параметра, присутствующего в управляемой системе. Продолжено изучение задач о сближении в фиксированный момент времени управляемых систем, не содержащих неопределенного параметра. В этих задачах существующие алгоритмы построения разрешающих управлений модифицированы за счет введения так называемых управлений-компенсаторов, улучшающих качество управления. Проведено моделирование ряда конкретных задач механики, в том числе, - задач управления обратным (однозвенным, двухзвенным) маятником с точкой подвеса, находящейся на подвижной тележке. Рассмотрен класс задач оптимального управления на бесконечном интервале времени с возможно неограниченным множеством ограничений на управление. При помощи конечно-временных аппроксимаций и аппарата принципа максимума Понтрягина в общем нелинейном случае получены новые достаточные условия существования оптимального управления, а также условия, гарантирующие равномерную локальную ограниченность оптимальных управлений. Полученные результаты применены к исследованию модели оптимальной эксплуатации возобновляемого ресурса. Доказаны теоремы о необходимых условиях существования псевдовершин целевого множества в плоской задаче о быстродействии при ослабленных предположениях о гладкости границы невыпуклой цели. Предложены комбинированные алгоритмы конструирования функции оптимального результата, объединяющие аналитические процедуры выявления негладких особенностей функции и численные процедуры ее формирования в областях дифференцируемости. Осуществлено численное моделирование разрешающих конструкций – сингулярного множества, волновых фронтов (линий уровня обобщенного решения), функции оптимального результата. Разработаны новые итерационные алгоритмы построения оптимальных покрытий и упаковок для множеств со сложной криволинейной геометрией на основе выделения так называемых характерных точек. Модернизированы алгоритмы отыскания чебышевского центра компактного множества за счет привлечения процедур сдвига. Доказаны теоремы о том, что алгоритмы при определенных условиях улучшают свойство покрытия. Проведено численное моделирование построения аппроксимации оптимального покрытия для фигур, ограниченных алгебраическими кривыми третьего и четвертого порядков. Для задач управления и динамических игр с бесконечным горизонтом исследованы свойства равновесных траекторий и функций цены. Разработаны алгоритмы построения оптимальных стратегий управления на основе теории обобщенных минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби и принципа максимума Л.С. Понтрягина. Показано, что эти стратегии синтезируют траектории устойчивого развития системы. Проведено моделирование траекторий на реальных статистических данных в целях прогнозирования трендов экономического роста и анализа динамики финансовых рынков. Доказано существование цены и седловой точки в классах чистых позиционных стратегий игроков для антагонистической дифференциальной игры, в которой движение конфликтно-управляемой системы описывается функционально-дифференциальными уравнениями нейтрального типа в форме Дж. Хейла, а показатель качества оценивает историю движения и соответствующие реализации управлений игроков. В линейном случае предложен численный метод для нахождения цены и построения оптимальных стратегий, основанный на сведении задачи к дифференциальной игре для системы без запаздывания и с терминальной оценкой движения. Теоретические результаты подтверждены численным моделированием. Проведено сравнение метода с разработанными ранее процедурами оптимального управления с использованием конечномерных аппроксимирующих поводырей. Рассмотрены некоторые типичные процессы изгибаний стержня при сильном продольном сжатии. Установлено, что для данных процессов расширяющиеся области быстрых нарастаний изгибаний начинаются в малых окрестностях точек сингулярностей решений предельного уравнения Лапласа. Начальные стадии этих нарастаний описаны с помощью интеграла Харди. Вычислено точное значение контактного сопротивления малого квадратного контакта в случае постоянной плотности тока на его поверхности, что соответствует случаю, когда поверхность контакта покрыта плохо проводящей пленкой. В процессе решения была рассмотрена асимптотика суммы ряда, сингулярно зависящего от малого параметра.

Аннотация результатов, полученных в 2017 году
Разработаны теория и метод построения приближенного решения задачи о сближении нелинейной управляемой системы, содержащей неопределенный параметр. Основу теории и метода составило использование конструкций инвариантности и попятных пошаговых процедур. Разработаны алгоритмы приближенного конструирования множества разрешимости задачи о сближении, адаптированные для параллельных вычислений. Проведено моделирование на ЭВМ конкретных задач из механики и физики. Проведено полное аналитическое исследование модели оптимального экономического роста с возобновляемым ресурсом. Для всех возможных значений параметров задачи доказано существование оптимальных режимов. При помощи соответствующего варианта принципа максимума Понтрягина приведено их полное аналитическое описание. Доказаны критерии устойчивости и сильной устойчивости оптимального экономического роста. Исследована задача о минимизация хаусдорфова расстояния между двумя выпуклыми многоугольниками. Считается, что один из них может совершать произвольные движения на плоскости, включая параллельный перенос и вращение с центром в любой точке. Другой многоугольник считается при этом неподвижным. Разработаны и программно реализованы итерационные алгоритмы поэтапного сдвига и вращения многоугольника, обеспечивающие уменьшение хаусдорфова расстояния между ним и неподвижным многоугольником. Доказаны теоремы о корректности алгоритмов для широкого класса случаев. При этом по существу используются геометрические свойства чебышёвского центра компактного множества и дифференциальные свойства функции евклидова расстояния до выпуклого множества. При реализации программного комплекса предусмотрена возможность многократного запуска с целью выявления наилучшего из найденных положений многоугольника. Проведено моделирование ряда примеров. Для динамических биматричных игр с интегральными показателями, дисконтированными на бесконечном интервале времени, построены оптимальные стратегии игроков и равновесные траектории. Получены аналитические формулы для кривых переключения оптимальных стратегий управления. Проведен анализ чувствительности равновесных решений в зависимости от параметра дисконтирования в интегральных функционалах выигрыша. Рассмотрено приложение полученных результатов к динамическим моделям инвестирования на финансовых рынках и к моделям финансирования долгосрочных энергетических проектов. Изучена модель неоклассического экономического роста в случае нелинейного уравнения Рэмзи, моделирующего динамику капитала, и соответствующей замены Бернулли, приводящей к линейной динамике. Предложен алгоритм построения траекторий роста, сочетающий методы программного управления и регулирование по принципу обратной связи. Продемонстрировано влияние технологических изменений на динамику экономического равновесия. Исследована задача оптимального управления в гибридной линейной системе с переключениями в динамике, возникающих в результате структурных изменений. Результаты подтверждены компьютерными вычислениями с эконометрической идентификацией параметров моделей экономического роста. Исследована функция цены в задаче оптимального управления на бесконечном горизонте с подынтегральным индексом, входящим в функционал качества с дисконтирующим множителем. Проведен анализ ее свойств для случая, когда функционал платы управляемой системы содержит индекс качества, который представлен неограниченной функцией. Дана верхняя оценка роста функции цены. Получены необходимые и достаточные условия, при которых функция цены обладает свойствами стабильности в инфинитезимальной форме. Дано описание асимптотики роста функции цены для функционалов качества логарифмического, степенного и экспоненциального видов, встречающихся в экономическом и финансовом моделировании. Установлена связь между дифференциальной игрой для системы нейтрального типа и подходящим функциональным уравнением Гамильтона-Якоби-Айзекса-Беллмана с коинвариантными производными. В гладком случае доказано совпадение функционала цены и классического решения этого уравнения. В общем негладком случае введено понятие обобщенного (минимаксного) решения полученного уравнения Гамильтона-Якоби-Айзекса-Беллмана и доказано, что функционал цены игры совпадает с таким обобщенным решением. Указаны оптимальные стратегии игроков. Методом согласования асимптотических разложений построено и обосновано асимптотическое разложение решения внешней второй краевой задачи для уравнения Лапласа во внешности трехмерного тонкого диска. Физической интерпретацией решения этой краевой задачи является потенциал скоростей идеальной жидкости при обтекании тонкого диска ламинарным потоком жидкости. Построено асимптотическое разложение решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в ограниченной трехмерной области со сменой типа граничного условия на двух малых участках. В качестве примера применения получена асимптотическая формула для электрического сопротивления цилиндра в случае небольшой потери заряда через изоляцию.