КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 16-11-10095

НазваниеМногомасштабное математическое моделирование эволюции арктического льда: влияние на изменение климата

РуководительГаленко Петр Константинович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина", Свердловская обл

Период выполнения при поддержке РНФ

2016 г. - 2018 г.

, продлен на 2019 - 2020. Карточка проекта продления (ссылка)

Конкурс№13 - Конкурс 2016 года на получение грантов по приоритетному направлению деятельности РНФ «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами».

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-217 - Математическое моделирование физических сред

Ключевые словаАрктический лед, нелинейная динамика, многомасштабное моделирование, метод фазового поля, градиентно-устойчивые алгоритмы, таяние, замерзание, структурно-фазовые превращения, дендриты

Код ГРНТИ27.35.33

СтатусУспешно завершен

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект направлен на решение актуальных задач структурообразования для анализа динамических изменений климата Арктической зоны за счет поведения ледяного покрова. С этой целью будут созданы теоретические основы для многомасштабного описания динамики движения межфазной границы «лёд-вода», химического, фазового состава и структуры льда при учете радиационного и конвективного теплообмена и массопереноса. В настоящее время практически отсутствуют данные научного прогнозирования климата на основе моделирования процессов таяния и замерзания льдов. Поэтому в проекте ставится новая задача развития формализма, который явится основой для моделирования структурообразования Арктических льдов. Информация о структуре и свойстве межфазной поверхности, полученная на микро-уровне моделирования, используется для предсказаний формирования и таяния двухфазной зоны - гетерогенной области сосуществования фаз «лёд-вода» на мезоскопическом уровне анализа. Свойства и характеристики двухфазной зоны используются для определения параметров моделирования глобальной динамики Арктической зоны Земли. Анализ глобального формирования и таяния льдов в зоне Арктики включает построение бифуркационных диаграмм и фазовых портретов детерминированного поведения сезонных изменений климата с учетом возможных стохастических отклонений параметров разрабатываемых моделей. Решения уравнений модели позволят определять зоны климатических равновесий и динамических изменений, приводящих к эволюции Арктического льда. Разрабатываемые методы математического моделирования основаны на градиентно-устойчивых алгоритмах, ускоренное численное решение которых позволит решать динамические и транспортные уравнения моделей фазового поля и глобального моделирования. Модели и данные моделирования дают возможность создания отечественного пакета программ для компьютерного прогнозирования динамических изменений ледяного покрова и климатических изменений Арктической зоны Земли.

Ожидаемые результаты
Атомистическое моделирование на основе метода молекулярной динамики позволит получать информацию о структуре воды, ее характеристиках и свойствах межфазной поверхности раздела «лед-вода» как в условиях термодинамического равновесия, так и в условиях фазовых превращений. Информация, полученная с этого микроскопического уровня моделирования, будет непосредственно использоваться в аналитических и численных расчетах атомистически континуального моделирования (на основе модели кристаллического фазового поля) и мезоскопического моделирования (на основе традиционной модели фазового поля). Аналитическая модель на основе амплитудного представления уравнений модели кристаллического фазового поля применима для описания структуро-и дефектообразования на нанометровых масштабах (1-100 нм) в процессах плавления и затвердевания льда и используется в настоящем проекте для быстрой количественной оценки и качественного анализа структурных превращений. Разрабатываемая неизотермическая модель фазового поля позволит анализировать динамику дендритного роста и таяния кристаллов на мезоскопическом уровне анализа. При этом будет сделан прогресс в методе численного решения уравнений второго, четвертого и шестого порядка по пространству и второго порядка по времени, которые используются в проекте. А именно, для такого типа эволюционных и транспортных уравнений будут разработаны безусловно устойчивая численная схема и высокоскоростные вычислительные алгоритмы, необходимые для получения решений по изменению структуры и фазового состава Арктических льдов и учитывающие изменение их мезо- и микроструктуры. Результаты мезоскопического моделирования кристаллической структуры необходимы для описания двухфазной зоны арктических льдов и глобального моделирования, запланированного в настоящем проекте. На мезоскопическом уровне анализа планируется формулировка динамической теории замерзания/таяния морского льда с областью фазового перехода, заполненной кристаллами льда. Будут определены температурное поле, распределение солености, доля твердой фазы в двухфазной зоне льда, динамические законы движения границ чистый лед – двухфазная область и двухфазная область – океан. Исследование планируется провести при различных граничных условиях в динамике замерзания/таяния морского льда: температурных изменений в атмосфере, солености морской воды, океанических течений в подледовом пространстве и др. Для определения параметров глобальной динамической модели Арктической зоны Земли будут получены поток скрытой теплоты, выделяющейся в результате замерзания льда, и кондуктивный тепловой поток на поверхности льда, исходящие в атмосферу при замерзании льда. Применение теории запланировано для описания глобальной динамики шельфовых льдов. С учетом определенных характеристик микроскопических и мезоскопических моделей, будет выполнена оценка параметров глобальной динамической модели Арктической зоны Земли. Будет проведен анализ бифуркационных диаграмм и фазовых портретов детерминированной модели с учетом возможных стохастических параметров сезонных изменений. Будут определены зоны равновесия системы и динамические режимы, описывающие эволюцию Арктического льда. Результаты проекта важны для решения приоритетной научной проблемы о формировании и таянии льдов в Арктической зоне. Планируемые результаты многомасштабного анализа соответствуют мировому уровню исследований и являются основой для разработки отечественного пакета программ для компьютерного прогнозирования динамических изменений ледяного покрова и климатических изменений Арктической зоны Земли. Решение сформулированных в проекте задач сделает возможным давать качественные и количественные оценки изменения Арктического климата, оценивать возможность изменения морских течений, повышения/понижения уровня Океана, сезонных изменений температуры и влажности в Арктической зоне с возможным влиянием этих изменений на климат северного полушария Земли. Народнохозяйственное значение и экономическая целесообразность получения информации об эволюции климатических изменений Арктики очевидна. Например, оценка навигационной способности северного морского пути на основе научных результатов предлагаемого проекта позволит получить существенную дополнительную экономическую выгоду в народном хозяйстве (в дополнение к прогнозируемой на основе эмпирического наблюдения).

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2016 году
Для анализа кинетики роста ледяных дендритных кристаллов (в чистой и соленой воде) выполнена систематизация и сравнительный анализ данных по кинетике формирования органических, металлических и сплавных кристаллов. Кинетика роста оценивалась и систематизировалась по зависимостям «скорость роста вершины кристалла – переохлаждение». Органическое вещество, металлы и сплавы, выбранные для сравнительного анализа: сукцинонитрил, Ni, Si-As, Mg-Al, Sn-Bi. Численно решена задача о моделировании гексагональных кристаллических структур при затвердевании и плавлении вещества на наноуровне на основе трёхмерной модели кристаллического фазового поля (PFC-модель). Численное решение производилось параллелизацией уравнений PFC-модели на основе вычислительного алгоритма безусловной градиентной устойчивости. Построена диаграмма сосуществования трёхмерных кристаллических структур в координатах температура-атомная плотность, на которой определена область существования гексагональных решеток льда. Диаграмма построена для струтур, отбираемых минимизацией свободной энергии по атомной плотности и решёточному параметру при заданной температуре. Диаграмма получена для структур: жидкость, гранецентрированный кристалл, объемноцентрированный кристалл, гексагональная структура льда, стержневая структура, полосчатая структура. Выполнено моделирование динамики формирования гексагональных кристаллических структур с получением равновесной структуры и возможных метастабильных состояний ледяных кристаллов. Получены амплитудные уравнения для динамики формирования гексагональной структуры в рамках PFC-модели. Для амплитудных уравнений получены аналитические решения бегущей волны при продвижении фронта гексагональной структуры в метастабильную переохлажденную жидкость (воду). Полученные аналитические решения бегущей волны являются тестовыми для численных решений PFC-модели. В результате численных и аналитических решений PFC-модели получены данные по кинетике роста и плавлению ледяных кристаллов, которые применены в макро(мезо)скопической модели двухфазной зоны, использованной при оценке формирования ледяного покрова. Для анализа структурно-фазовых переходов на мезоуровне в проекте исследована эволюция области фазового перехода. Выведено обобщённое уравнение динамики криволинейной межфазной границы лёд – вода, определяющее условие возникновения концентрационного переохлаждения. Исследована эволюция переохлаждённой области фазового перехода с учётом процессов нуклеации и дендритного роста. Описаны процессы зарождения и роста кристаллов льда с учётом эффекта их всплытия, решено кинетическое уравнение для функции распределения кристаллов по размерам для различных кинетик роста твёрдой фазы. Построено решение термодиффузионной задачи об анизотропном росте дендритов с конвекцией, определено отборное соотношение между устойчивой скоростью роста вершины дендритов и радиусами кривизны их вершин, развита теория микроскопической разрешимости с конвекцией. Развитая теория кристаллизации с областью структурно-фазового превращения позволила определить долю твердой фазы в двухфазной зоне и динамические законы движения её границ (“чистый лёд-двухфазная область” и “двухфазная область-океан”). Выполнено макроскопическое моделирование эволюции ледяного покрова Земли на основе трёхмерной динамической модели Зальтцмана. Коэффициенты макроскопической модели определены с учётом результатов микроскопических и мезоскопических исследований и данных научных работ других авторов. Развитая нелинейная модель учитывает изменения углекислого газа в атмосфере и обратную связь между параметрами климатической системы. Построена бифуркационная диаграмма и фазовые портреты детерминированной системы, определены её аттракторы. Сформулирована стохастическая модель климата и исследована её стохастическая чувствительность, построены стохастические траектории и динамические зависимости основных параметров климатической модели при различных интенсивностях шума. Анализ показателей Ляпунова системы показал возникновение климатического хаоса при различных интенсивностях шума.

Публикации

1. Александров Д.В. Mathematical modelling of nucleation and growth of crystals with buoyancy effects Philosophical magazine letters, 96 (4), 132-141 (год публикации - 2016) https://doi.org/10.1080/09500839.2016.1177222

2. Александров Д.В. The large-time behaviour of coarsening of a particulate assemblage due to Ostwald ripening and coagulation Philosophical magazine letters, 96 (9), 355-360 (год публикации - 2016) https://doi.org/10.1080/09500839.2016.1225996

3. Александров Д.В., Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б. Comment on: Cyclic extrusion of a lava dome based on a stick-slip mechanism, by Costa et al. (2012) Earth and planetary science letters, - (год публикации - 2017)

4. Александров Д.В., Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б. Stochastic variability and noise-induced generation of chaos in a climate feedback system including the carbon dioxide dynamics EPL, 115 (4), 40009 (год публикации - 2016) https://doi.org/10.1209/0295-5075/115/40009

5. Александров Д.В., Галенко П.К. Аналитическое решение задачи об обтекании параболического дендрита наклонным потоком вязкой жидкости в приближении Осеена Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 26 (3), 379-387 (год публикации - 2016) https://doi.org/10.20537/vm160307

6. Александров Д.В., Галенко П.К. Boundary integral approach for propagating interfaces in a binary non-isothermal mixture Physica A, - (год публикации - 2017)

7. Галенко П.К., Данилов Д.А., Рёйтер К., Александров Д.В., Реттенмайр М., Херлах Д.М. Effect of convective flow on stable dendritic growth in rapid solidification of a binary alloy Journal of crystal growth, Vol. 457, pp. 349-355 (год публикации - 2016) https://doi.org/10.1016/j.jcrysgro.2016.07.042

8. Гао Й., Као А., Бояревикс В., Периклеус К., Галенко П.К., Александров Д.В. Modeling of convection, temperature distribution and dendritic growth in glass- fluxed nickel melts Journal of crystal growth, - (год публикации - 2016)

9. Гусакова О.В., Галенко П.К., Шепелевич В.Г., Александров Д.В. Формирование микроструктуры быстрозатвердевших сплавов системы Sn-Bi Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 26 (3), 388-400 (год публикации - 2016) https://doi.org/10.20537/vm160308

10. Д.В. Александров, И.В. Александрова Solute Redistribution Around a Parabolic Dendrite in the case of Thermodiffusion (Soret Effect) and Temperature-Dependent Diffusivity AIP conference proceedings, - (год публикации - 2017)

11. Низовцева И.Г., Галенко П.К., Александров Д.В. The hyperbolic Allen–Cahn equation: exact solutions Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 49 (43), 435201 (год публикации - 2016) https://doi.org/10.1088/1751-8113/49/43/435201

12. Стародумов И., Кропотин Н. Features in simulation of crystal growth using the hyperbolic PFC equation and the dependence of the numerical solution on the parameters of the computational grid AIP conference proceedings, 1759, 020136 (год публикации - 2016) https://doi.org/10.1063/1.4959750

13. Стародумов И.О., Павлюк Е.В., Абрамов С.М., Клюев Л.В., Галенко П.К., Александров Д.В. Эффективность распараллеливания алгоритма решения уравнения PFC с использованием библиотеки PetIGA Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 26 (3), 445-450 (год публикации - 2016) https://doi.org/10.20537/vm160312

14. Титова Е.А., Александров Д.В., Галенко П.К. О времени нестационарности роста первичных дендритов Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 26 (3), 439-444 (год публикации - 2016) https://doi.org/10.20537/vm160311

Аннотация результатов, полученных в 2017 году
В работе выполнено математическое моделирование динамического поведения ледяного покрова с учётом вариативности различных физических параметров и процессов, влияющих на климат (например, интенсивность вулканических выбросов). При моделировании учтено взаимное влияние полюсов планеты на основе модели связанных осцилляторов. Модельные коэффициенты, входящие в управляющие уравнения, учитывают результаты макроскопического моделирования. Определены равновесия детерминированной системы, построены фазовые портреты и динамические траектории. Сформулирована и исследована стохастическая модель, учитывающая флуктуации параметров системы. Построены её фазовые диаграммы при различных интенсивностях шумов. Продемонстрирована определяющая роль наличия стохастического «шума» в параметрах климатической модели на её эволюционное поведение. В рамках работы над физико-математической PFC-моделью (моделью фазового кристаллического поля) разработан программный комплекс, позволяющий производить численные расчёты указанным методом с использованием высокопроизводительных вычислительных кластеров. Проведена верификация получаемых с помощью этого программного комплекса результатов путём их сопоставления с данными теоретического анализа теории PFC. Произведён анализ эффективности использования программным комплексом вычислительных ресурсов и определены требования к вычислительным ресурсам для моделирования крупномасштабных задач. На основании серии компьютерных экспериментов сформулирован механизм образования неустойчивых метастабильных структур, нехарактерных для натурного эксперимента, что позволило обосновать дальнейшую модификацию метода PFC за счёт включения в модель члена, отвечающего за стохастические «шумы». Эти шумы позволят описать естественные фоновые колебания фазовых полей температуры и атомной плотности и более точно описать эволюцию микроструктуры вещества в условиях метастабильности с малой областью устойчивости. Используя теорию зарождения Скрипова, оценена глубина переохлаждаемости для воды и циркония как кристаллов, имеющих гексагональную плотно-упакованную (ГПУ) кристаллическую структуру. Были установлены температурные пределы для формирования (мета)стабильных кристаллов для этих веществ. Используя модель PFC, были получены амплитудные уравнения для движения кристаллических фронтов вглубь переохлажденной воды с формированием стабильной и метастабильной гексагональной плотно-упакованной (ГПУ) кристаллической структуры. Получены решения в виде бегущих волн и определены кинетические закономерности роста ГПУ-кристаллов льда в сопоставлении с предсказаними модели резкой границы и экспериментальными данными, полученными в кристаллизующихся каплях циркония (с ростом ГПУ-кристаллов), обрабатываемых в электромагнитном левитаторе (безтигельный метод, позволяющий достичь глубоких переохлаждений). Полученные результаты теоертического моделирования создают основу для надежных предсказаний формирования метастабильных и стабильных ледяных кристаллов на мезоскопическом уровне с передачей данных на макроскопичксий уровень описания ледяного покрова.

Публикации

1. Александров Д.В. A transient distribution of particle assemblies at the concluding stage of phase transformations Journal of Materials Science, 52(12), 6987-6993 (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1007/s10853-017-0931-y

2. Александров Д.В. On the Theory of fragmentation process with initial particle volume Communications in Theoretical Physics, 68(2), 269-271 (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1088/0253-6102/68/2/269

3. Александров Д.В., Александрова И.В., Иванов А.А. On the theory of unsteady-state crystallization with a mushy layer IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 192(1), 012003 (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1088/1757-899X/192/1/012003

4. Александров Д.В., Александрова И.В., Иванов А.А. On the theory of self-similar phase transitions with a mushy layer IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 192(1), 012017 (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1088/1757-899X/192/1/012003

5. Александров Д.В., Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б. Noise-induced variability of volcanic extrusions EPL, 116(4),40006 (год публикации - 2016) https://doi.org/10.1209/0295-5075/116/40006

6. Александров Д.В., Галенко П.К. Selected mode of dendritic growth with n-fold symmetry in the presence of a forced flow EPL, 119(1), 16001 (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1209/0295-5075/119/16001

7. Александров Д.В., Галенко П.К. Selected mode for rapidly growing needle-like dendrite controlled by heat and mass transport Acta Materialia, 137, 64-70 (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1016/j.actamat.2017.07.022

8. Александров Д.В., Галенко П.К. Dendritic growth with the six-fold symmetry: Theoretical predictions and experimental verification Journal of Physics and Chemistry of Solids, 108, 98-103 (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1016/j.jpcs.2017.04.016

9. Галенко П.К., Рёйтер К., Казак О.В., Александров Д.В., Реттенмайр М. Effect of convective transport on dendritic crystal growth from pure and alloy melts Applied Physics Letters, 111(3), 031602 (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1063/1.4985340

10. Низовцева И.Г., Галенко П.К., Александров Д.В. Traveling wave solutions for the hyperbolic Cahn-Allen equation Chaos, Solitons and Fractals, 94, 75-79 (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1016/j.chaos.2016.11.010

11. Павлюк Е., Стародумов И., Осипов С. Remote control system for high-perfomance computer simulation of crystal growth by the PFC method IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 192(1), 012016 (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1088/1757-899X/192/1/012016

12. Салуми А., Галенко П.К. Analysis of interface kinetics: Solutions of the Gibbs-Thomson-type equation and of the kinetic rate theory IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 192(1), 012014 (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1088/1757-899X/192/1/012014

13. Стародумов И., Галенко П., Александров Д., Кропотин Н. Influence of computational domain size on the pattern formation of the phase field crystals IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 192(1), 012008 (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1088/1757-899X/192/1/012008

14. Стародумов И., Деревянко А., Александров Д. Application of the Saint-Venant model and the modified Stefan model for modeling the formation of the ice cover at the thermal growth stage IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 192(1), 012033 (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1088/1757-899X/192/1/012033

15. Титова Е.А., Александров Д.В., Галенко П.К. A relaxation time of secondary dendritic branches to their steady-state growth IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 192(1), 012002 (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1088/1757-899X/192/1/012002

16. Титова Е.А., Александров Д.В., Галенко П.К. Boundary integral approach for elliptical dendritic paraboloid as a form of growing crystals IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 192(1), 012025 (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1088/1757-899X/192/1/012025

17. Александров Д., Стародумов И. Моделирование двухфазной зоны в процессах направленной кристаллизации LAP Lambert Academic Publishing,Saarbrucken, Германия, - (год публикации - 2016)

18. Александров Д.В., Малыгин А.П., Александрова И.В. OneComponentNucleation -, 2017616473 (год публикации - )

19. Александров Д.В., Малыгин А.П., Иванов А.А. NucleationDiffusion -, 2017614179 (год публикации - )

Аннотация результатов, полученных в 2018 году
1. Сформулирована математическая модель роста кристаллов для n-го порядка кристаллической симметрии и определены её аналитические решения, где n=2 – усы или призмы, n=3 – треугольники или пирамиды, n=4 – квадраты или кубики, n=5 – мозаичные кристаллы, т.е. квазикристаллы, n=6 – гексагоны или снежинки, n=10 – типичные квазикристаллы. Решение модели находится в согласии результатами решения фазово-полевой модели для кристаллов льда, имеющих симметрию n=6. 2. Сформулирована модель роста кристаллов льда в условиях конвективного/турбулентного тепломассопереноса у поверхности льда, определены аналитические решения модели, найден критерий устойчивого роста кристаллов. Найденные решения находятся в хорошем соответствии с экспериментальными данными по кинетике роста дендритов. 3. Выведены уравнения, определяющие неявные зависимости скорости вершины и диаметра вершины дендритов в зависимости от полного переохлаждения. Точные аналитические решения этих нелинейных уравнений найдены в параметрической форме. Определены асимптотические решения, описывающие рост кристаллов при малых числах Пекле. Теоретические прогнозы подтверждаются экспериментальными данными для дендритов льда, растущих в бинарных растворах вода-этиленгликоль, а также в чистой воде. 4. Разработана теория кинетического фазового перехода в структуре бинарного упорядочивающегося кристалла. Сформулирована фазово-полевая модель образования структуры бинарного упорядочивающегося кристалла, растущего из переохлаждённой жидкости. Выполнен анализ результатов на основе решения уравнений динамики фазового поля и релаксации параметра дальнего порядка в диффузной границе кристалл-жидкость и в объёме кристалла. Определены критические температуры изменения скорости и параметра дальнего порядка растущего кристалла при кинетическом переходе. Найдено качественное отличие и определены аналогии в процессах неравновесного захвата примеси и образования неупорядоченной структуры быстро растущих кристаллов. Анализ является полным, т.к. получены и проанализированы все стадии формирования кристалла: от полностью упорядоченной до его полностью неупорядоченной структуры. Результаты работы будут опубликованы в 2019 году в статье «Rapid solidification as non-ergodic process» (Physics Reports, Q1, импакт-фактор 20.099, ISSN: 0370-1573) со ссылкой на РНФ. 5. Построены диаграммы структур разных модификаций в равновесных и метастабильных условиях. Определены аналитические и численные предельные переходы между микро- и мезоскопическими уровнями моделирования кристаллов и создана феноменологическая модель взаимосвязи фазово-структурных свойств и формированием ледяного покрова. Выпущена монография со ссылкой на РНФ: P.K. Galenko, V. Ankudinov and I. Starodumov, Phase-Field Crystals: Fast Interface Dynamics (de Gruyter, Berlin, 2018). 6. Сформулирована многопараметрическая модель движения Арктической кромки льда на основе данных об основных параметрах этой модели, полученных на мезо- и микроуровнях многомасштабного моделирования, а также данных имеющегося эксперимента. Исследована нелинейная динамика этой модели в рамках детерминистических уравнений. Определены устойчивые равновесия и предельные циклы, построены фазовые портреты в плоскостях основных параметров. Сформулирована стохастическая модель, учитывающая присутствие аддитивных шумов в главных параметрах системы с целью определения влияния вариаций этих параметров на динамику движения льда. Найдены равновесия и предельные циклы стохастической модели; построены фазовые портреты системы при наличии шумов различных интенсивностей; найдены динамические траектории. Определены пороговые значения шумов, ответственные за удаление фазовых траекторий от аттракторов. Показана возможность и определены условия хаотических осцилляций ледяного покрова. Выполнен анализ различных стохастически-индуцированных сценариев эволюции глобальной модели динамики льда. Результаты работы будут опубликованы в 2019 году в статье «Nonlinear Climate Dynamics: from Deterministic Behavior to Stochastic Excitability and Chaos» (Physics Reports, Q1, импакт-фактор 20.099, ISSN: 0370-1573) со ссылкой на РНФ. Разработаны 4 модуля вычислительных программ, которые прошли государственную регистрацию программ для ЭВМ.

Публикации

1. Александров Д.В., Галенко П.К. Thermo-solutal growth of an anisotropic dendrite with six-fold symmetry Journal of Physics Condensed Matter, Vol. 30, Iss. 10, Art. No. 105702. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1088/1361-648X/aaab7b

2. Александров Д.В., Стародумов И.О., Павлюк Е.В., Иванов А.А. Образование дефектных и метастабильных структур при моделировании фазовых переходов методом кристаллического фазового поля Расплавы, номер 2, С. 247-256. (год публикации - 2018)

3. Александров Д.В., Торопова Л.В., Галенко П.К. Thermo-solutal growth of an anisotropic dendrite in the case of convective heat and mass transfer in a binary system AIP Conference Proceedings, Vol. 1978, Art. No. 470065. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1063/1.5044135

4. Бухбиндер Г.Л., Галенко П.К. Boundary conditions and heat resistance at the moving solid-liquid interface Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, Vol. 489, P. 149-162. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1016/j.physa.2017.08.001

5. Галенко П.К., Александров Д.В. From atomistic interfaces to dendritic patterns Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 376, Iss. 2113, Art. No. 20170210 (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1098/rsta.2017.0210

6. Галенко П.К., Александров Д.В., Торопова Л.В., Реттенмайр М., Херлах Д.М. Effect of forced convection on dendritic growth: theoretical modeling and analysis of recent experimental results Selected, peer reviewed papers from the SEVENTH INTERNATINAL CONFERENCE ON SOLIDIFICATION AND GRAVITY, Selected, peer reviewed papers from the SEVENTH INTERNATINAL CONFERENCE ON SOLIDIFICATION AND GRAVITY, Miskolc-Lillafüred, Hungary September 3-6, 2018, P. 259-264. (год публикации - 2018)

7. Галенко П.К., Низовцева И.Г., Ройтер К., Реттенмайр М. Kinetic transition in the order-disorder transformation at a solid/liquid interface Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 376, Iss. 2113, Art. No. 20170207. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1098/rsta.2017.0207

8. Галенко П.К., Низовцева И.Г., Ройтер К., Реттенмайр М. Кинетика формирования неупорядоченной структуры кристалла при высокоскоростном затвердевании Журнал экспериментальной и теоретической физики, том 154, вып. 1 (7), С. 124-133. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1134/S0044451018070106

9. Маковеева Е.В., Александров Д.В. К теории нуклеации и роста кристаллов в метастабильной области фазового превращения при учете различных кинетических механизмов Расплавы, номер 2, С. 219-234. (год публикации - 2018)

10. Низовцева И.Г., Галенко П.К. Travelling-wave amplitudes as solutions of the phase-field crystal equation Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 376, Iss. 2113, Art. No. 20170202. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1098/rsta.2017.0202

11. Стародумов И.О., Галенко П.К., Кропотин Н.В., Александров Д.В. Об аппроксимации периодического решения уравнения кристаллического фазового поля при расчетах методом конечных элементов Программные системы: теория и приложения, Том 9, № 4(39), С. 265-278. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.25209/2079-3316-2018-9-4-265-278

12. Титова Е.А. 2D dendrite shape in the large chemical Peclet number limit AIP Conference Proceedings, Vol. 2015, Art. No. 020102. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1063/1.5055175

13. Титова Е.А., Александров Д.В., Галенко П.К. Время релаксации к стационарному росту вторичных ветвей дендрита Расплавы, - (год публикации - 2019)

14. Титова Е.А., Александров Д.В., Галенко П.К. Исследование роста дендритного кристалла в форме эллиптического параболоида методом граничных интегральных уравнений Расплавы, номер 3, С. 312-319. (год публикации - 2018)

15. Торопова Л.В., Александров Д.В., Галенко П.К. К вопросу об устойчивом росте анизотропного дендрита при конвективном теплопереносе в жидкой фазе у поверхности дендрита Расплавы, номер 3, С. 320-329. (год публикации - 2018)

16. Торопова Л.В., Александров Д.В., Галенко П.К. Solvability criterion for stable mode of dendritic evolution in the case of convective heat and mass transfer in a binary alloy AIP Conference Proceedings, Vol. 1953, Art. No. 040005. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1063/1.5032625

17. Торопова Л.В.,Александров Д.В., Галенко П.К. How the convective heat transport at the solid/liquid phase interface influences the stable mode of dendritic growth AIP Conference Proceedings, Vol. 1997, Art. No. 020030. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1063/1.5049024

18. Александров Д.В., Галенко П.К., Торопова Л.В. Thermo-solutal and kinetic modes of stable dendritic growth with different symmetries of crystalline anisotropy in the presence of convection Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 376, Iss. 2113, Art. No. 20170215 (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1098/rsta.2017.0215

19. Галенко П.К., Александров Д.В., Титова Е.А. The boundary integral theory for slow and rapid curved solid/liquid interfaces propagating into binary systems Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 376, Iss. 2113, Art. No. 20170218. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1098/rsta.2017.0218

20. Галенко П., Анкудинов В., Стародумов И. Phase-field crystals De Gruyter, Berlin/Boston, De Gruyter, Berlin/Boston (год публикации - 2019)

21. Александров Д.В., Титова Е.А., Торопова Л.В. DendriteShape -, 2018616311 (год публикации - )

22. Александров Д.В., Торопова Л.В. DendriteN-theta -, 2018616067 (год публикации - )

23. Александров Д.В., Торопова Л.В. DendriteTurbulent -, 2018616310 (год публикации - )

24. Стародумов И.О., Александров Д.В., Павлюк Е.В. Phase Field Crystal Simulator (PFC_Simulator) -, 2018617793 (год публикации - )

25. - Ученые могут предсказывать изменения температуры с помощью математических моделей СМИ Уральского федерального университета, Новость номер 23804 (год публикации - )

26. - Ученые могут предсказывать изменения температуры с помощью математических моделей СМИ РНФ, Новость номер 3141 (год публикации - )

Возможность практического использования результатов
Результаты проекта могут быть использованы для решения приоритетной научной проблемы о формировании и таянии льдов в Арктической зоне. Полученные результаты многомасштабного анализа соответствуют мировому уровню исследований и являются основой для разработки отечественного пакета программ для компьютерного прогнозирования динамических изменений ледяного покрова и климатических изменений Арктической зоны Земли. Успешное решение сформулированных в проекте задач позволяет давать качественные и количественные оценки изменения Арктического климата, оценивать возможность изменения морских течений, повышения/понижения уровня океана, сезонных изменений температуры и влажности в Арктической зоне с возможным влиянием этих изменений на климат северного полушария Земли. Народнохозяйственное значение и экономическая целесообразность полученной информации об эволюции климатических изменений Арктики очевидна. Например, оценка навигационной способности северного морского пути на основе научных результатов предлагаемого проекта позволяет получить существенную дополнительную экономическую выгоду в народном хозяйстве (в дополнение к прогнозируемой на основе эмпирического наблюдения).