КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 16-11-10146

НазваниеМногозначная динамика в задачах управления, оценивания и коррекции движений с неопределенными возмущениями детерминированного, стохастического или комбинированного типа

РуководительФилиппова Татьяна Федоровна, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им.Н.Н.Красовского Уральского отделения Российской академии наук, Свердловская обл

Период выполнения при поддержке РНФ

2016 г. - 2018 г.

Конкурс№13 - Конкурс 2016 года на получение грантов по приоритетному направлению деятельности РНФ «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами».

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-204 - Математические проблемы теории управления

Ключевые словаУправление в условиях неопределенности, множества достижимости, дифференциальные включения, интегральные воронки, фазовые ограничения, импульсное управление, оценивание состояний

Код ГРНТИ27.37.17

СтатусУспешно завершен

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Важной и актуальной задачей математической теории управления является задача определения оптимальных управлений в динамических системах по результатам доступных наблюдений, служащая предметом исследования многих российских и зарубежных ученых. Наличие ограничений на доступные управления, а также неполнота или неточность данных математической модели существенно усложняют задачу и требуют развития новых подходов к ее решению. Одним из перспективных подходов к решению проблем указанного круга является развитие теории и методов решения задач управления и оценивания для многозначных движений в пространствах обобщенных состояний системы, в роли которых выступают информационные множества или их аналоги. Проект посвящен систематическому исследованию ряда проблем современной теории управления и теории экстремальных задач. Проект направлен на развитие методов нелинейного и многозначного анализа для описания и исследования многозначных решений (траекторных трубок) управляемых динамических систем, функционирующих в условиях неопределенности, вызванной непредсказуемыми ошибками моделирования и (или) неизвестными помехами в модели, описываемой системами обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальными включениями. В проекте предполагается решение следующих основных задач: 1. Решение задач точного и приближенного описания интегральных трубок, множеств достижимости, множеств разрешимости для управляемых систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями и дифференциальными включениями. Исследования этих задач имеют целью решение важных проблем управления в условиях неопределенности и гарантированного оценивания, в частности, задач синтеза управлений. 2. Решение задач управления и оценивания для дифференциальных уравнений и дифференциальных включений с фазовыми ограничениями, в том числе, при наличии управляющих воздействий импульсного типа. Развитие классических методов штрафных и барьерных функций для новых классов экстремальных задач теории оптимального управления многозначными движениями с фазовыми ограничениями. 3. Развитие методов аппроксимаций многозначных движений (в том числе, аппроксимаций эллипсоидального типа) для отдельных классов нелинейных систем, дающих основу для разработки конструктивных алгоритмов и позволяющих решать некоторые новые классы задач устойчивого управления для различных классов динамических систем 4. Исследование множеств разрешимости и задач управления для систем с импульсными составляющими, развитие методов оценивания множеств достижимости и построения оптимальных наблюдателей. 5. Исследование экстремальных задач на трубках траекторий нелинейных динамических систем с неопределенными параметрами. Изучение свойств траекторных трубок динамических систем с импульсными управляющими или возмущающими воздействиями. 6. Решение задач управления и оценивания для систем, подверженных совместному влиянию неопределённых и стохастических возмущений. При этом неопределённые возмущения, для которых нет вероятностного описания, могут входить в систему как аддитивно, так и неаддитивно, а также определяться соответствующими неточными моментами для стохастических возмущений. Разработка новых подходов к решению прикладных задач коррекции движения механических систем, для которых статистические неопределённости описываются случайными множествами. Возникающие в приложениях многочисленные задачи динамики стимулируют необходимость разработки новых методов конструирования решений, основанных на использовании последних достижений современного математического анализа и теории оптимизации. Получение аналитических решений сложных задач динамики управляемых систем возможно в редких случаях. В связи с этим особую актуальность приобретают исследования и разработки, направленные на конструирование приближенных решений и численных методов, ориентированных на современную высокопроизводительную вычислительную технику. В проекте для нахождения приближенных решений задач управления и оценивания привлекается теория, включающая в себя положения и методы, базирующиеся на использовании современных конструкций негладкого и выпуклого анализа. Это обстоятельство придает научную значимость проекту. Научная новизна предполагаемых исследований состоит в изучении новых классов управляемых систем (нелинейные по состоянию системы с различными типами ограничений на управление и возмущения, импульсные системы, управляемые объекты с нестационарными фазовыми ограничениями) и разработке новых подходов, связанных с развитием теории и методов решения задач рассматриваемого круга.

Ожидаемые результаты
Основными результатами проекта будут являться новые методы и подходы к решению задач математической теории управления движением динамических систем в условиях помех или неопределенности. В прикладных задачах исследуемые системы обладают, как правило, непростой нелинейной динамикой и поэтому невозможно вычислить точно аналитически множества достижимости. В силу этого обстоятельства актуален вопрос о приближенном вычислении множеств достижимости. Преимуществом разрабатываемых в проекте теоретических результатов и соответствующих алгоритмов по сравнению с известными методами является то, что они применимы к широкому классу динамических нелинейных систем, стесненных фазовыми ограничениями, интегральными ограничениями и комбинированными ограничениями на управления. Разрабатываемые в проекте методы и подходы к решению проблем построения множеств достижимости могут быть применены в междисциплинарных исследованиях сложных процессов, происходящих в технических системах, и моделировании комплексных экономических систем при контроле климатических изменений. Предполагается, что по проекту будут получены следующие основные результаты. • Аналитические исследования и разработка алгоритмов приближенного построения множеств достижимости нелинейных управляемых систем при ограничениях на доступные управления и неизвестные возмущения и параметры системы. • Построение внешних и внутренних многозначных оценок множеств достижимости для некоторых классов нелинейных управляемых систем с неопределенностью по начальным данным и параметрам систем, в том числе при квадратичной нелинейности и нелинейности билинейного типа, вызванного неточностью данных о элементах матриц, определяющих динамику. • Вывод дифференциальных уравнений, описывающих динамику эллипсоидальных оценок множеств достижимости для некоторых классов нелинейных управляемых систем с неопределенными параметрами и функциями. • Построение оптимальных решений в задачах с фазовыми и интегральными ограничениями на бесконечном интервале времени в приложении к моделям экономического роста, оптимизации инвестиций, оптимизации продуктивности природных ресурсов и энергоэффективности. • Исследование задач об асимптотической устойчивости системы с переменной структурой с импульсным воздействием в правой части, когда часть систем, входящих в систему с переменной структурой, являются асимптотически устойчивыми, а часть – неустойчивыми. • Исследование свойств многозначных траекторий в нелинейных задачах управления для систем с импульсными составляющими, решение задачи оценивания множеств достижимости для систем с импульсным управлением векторного типа. • Решение задач управления и оценивания для систем, подверженных совместному влиянию неопределённых и стохастических возмущений. При этом неопределённые возмущения, для которых нет вероятностного описания, могут входить в систему как аддитивно, так и неаддитивно, а также определяться соответствующими неточными моментами для стохастических возмущений. Будет решена задача описания эволюции случайных множеств (аналогов множеств достижимости системы) в силу соответствующих стохастических дифференциальных уравнений или включений и дана оценка получаемых совокупностей сверху и снизу. Теория динамических систем в условиях неопределенности является в настоящее время достаточно развитой областью исследований. Широко известны многие результаты в данной области, принадлежащие ученым московской и уральской научных школ. Исследования в области теории и приложений многозначного анализа активно ведутся в настоящее время в ряде известных научных центров России, США, Франции, Италии, Германии и других стран. Работы участников проекта, относящиеся к задачам описания трубок траекторий дифференциальных систем, функционирующих в условиях неопределенности, к исследованию эволюционных уравнений, описывающих динамику множеств разрешимости различных классов задач управления, широко известны и отражены в многочисленных публикациях в отечественных и зарубежных изданиях, рецензируемых журналах и тематических сборниках статей, трудах представительных международных и российских конференций. Имеются совместные публикации с зарубежными учеными, занимающимися смежными фундаментальными вопросами. Уровень ожидаемых в данном Проекте результатов соответствует мировому, а по ряду позиций опережает разработки в соответствующих областях. Основные результаты участников проекта планируется обнародовать на международных и российских конференциях, опубликовать в монографии, которую коллектив основных исполнителей планирует подготовить в период работы научной группы по проекту, и серии статей в рецензируемых российских и зарубежных научных изданиях, в том числе индексируемых в базе данных «Web of Science», «Scopus» и РИНЦ. Разрабатываемые теоретические методы и алгоритмы построения оптимальных стратегий, множеств достижимости и траекторий динамических систем могут быть использованы в прикладных задачах механики, физики, транспортных и космических системах, робототехнике, экономике и экологии.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2016 году
Проект посвящен исследованию фундаментальных проблем многозначной динамики в задачах управления, оценивания и коррекции движений с неопределенными возмущениями детерминированного, стохастического или комбинированного типа. В соответствии с общими целями и задачами проекта в 2016 году были получены следующие основные результаты. Исследованы задачи оценивания множеств достижимости нелинейной управляемой динамической системы (и соответствующего дифференциального включения) при неполной информации о начальных состояниях системы, ограниченной заданием лишь начальных множеств (эллипсоидов в фазовом пространстве), содержащих неизвестный начальный вектор. Исследован новый сложный класс нелинейных динамических систем, когда фазовые скорости систем содержат комбинации билинейных функций и квадратичных форм без предположения о их положительной определенности, а также при наличии неопределенности по начальным данным. Присутствие всех указанных усложняющих факторов потребовало адекватного анализа и построения новых теоретических и численных алгоритмов внешнего (по включению) оценивания множеств достижимости таких систем, что и было осуществлено в рамках первого этапа работ по проекту. Для нелинейных неопределенных систем, фазовые скорости которых содержат билинейные члены и квадратичные положительно определенные функции, получены дифференциальные уравнения, описывающие динамику многозначных оценок множеств достижимости, а также проведено компьютерное моделирование результатов для ряда модельных примеров нелинейных дифференциальных управляемых систем. Разработан метод построения внешних многозначных оценок множества достижимости неопределенных импульсных систем для случая импульсного управления (возмущения) в динамической системе с нелинейностью комбинированного квадратичного (в присутствии двух различных квадратичных форм в правых частях дифференциальных уравнений системы) и билинейного вида, проведено численное моделирование. Исследована задача достижимости для управляемой системы, нелинейной по фазовым переменным и линейной по управлению, в предположении, что ограничения на управление заданы в виде интегрального квадратичного неравенства. Изучены свойства траекторий системы, установлена компактность пучков траекторий в пространстве непрерывных функций. Доказана теорема о том, что любое допустимое управление, переводящее систему на границу множества достижимости, является локальным решением некоторой задачи оптимального управления с интегральным квадратичным функционалом, если соответствующая линеаризованная система является вполне управляемой. Этот факт позволяет для отыскания приближенных оценок множеств достижимости применять соотношения принципа максимума Понтрягина и теорию дифференциальных уравнений и неравенств Гамильтона-Якоби. Доказательство теоремы опирается на теорему Грейвса для накрывающих отображений и свойства производной отображения вход-выход. Проведено численное моделирование алгоритмов построения множеств достижимости, основанных на принципе максимума, для указанных классов систем с интегральными ограничениями на управление. Рассмотрена задача оптимального управления линейной системой с интегральными квадратичными ограничениями на управление и траекторию, терминальным линейным функционалом и терминальными ограничениями в форме системы линейных неравенств для правого конца траектории. Данная задача сводится к решению конечномерной экстремальной задачи, если динамические связи, заданные управляемой системой, заменить ее множеством достижимости. Особенность последней состоит в том, что если ее решение достигается во внутренней точке множества достижимости, то управление, переводящее систему в эту точку, неединственно. Таким образом, рассматриваемая задача является некорректно поставленной, что создает определенные трудности при численной реализации алгоритмов решения. Для нее предложен и обоснован эффективный двухэтапный метод численного решения. Этот метод использует известное аналитическое описание множества достижимости в виде конечномерного эллипсоида и алгоритмы решения оптимизационных задач в конечномерном евклидовом пространстве. Выделение оптимальных управлений после решения конечномерной задачи происходит путем нахождения нормальных решений соответствующих линейных задач. Метод применим и в том случае, когда исходная система не является вполне управляемой. Проведено исследование аналога метода внешних штрафных функций в задаче снятия фазовых ограничений при построении множеств достижимости управляемых систем с нелинейной динамикой. Были рассмотрены выпуклые фазовые ограничения с кусочно-гладкой границей. Рассматриваемый метод основан на построении в окрестности фазовых ограничений вспомогательной управляемой системы без фазовых ограничений. Множество скоростей данной системы формируется в виде выпуклой комбинации произвольного вектора скорости исходной системы и вектора скорости, направленного внутрь фазовых ограничений. Этот вектор определяется липшицевой обратной связью, существование которой доказано в рассматриваемом случае при выполнении некоторых предположений о непустоте пересечения годографа системы и конуса допустимых направлений ограничений. Коэффициенты выпуклой комбинации зависят от фазовых ограничений и малого параметра штрафа. Множество достижимости вспомогательной системы дает внешнюю аппроксимацию множества достижимости исходной системы в метрике Хаусдорфа при стремлении параметра штрафа к нулю. Для его построения предложены алгоритмы на основе принципа максимума Понтрягина. Проведено численное моделирование для ряда примеров систем 2-го и 3-го порядков. Исследована проблема оценивания случайного множества, представляющего собой область достижимости дифференциального уравнения Ито по начальным данным. Доказано марковское свойство области достижимости в пространстве замкнутых множеств. Для приближенных вычислений случайное начальное множество дифференциального уравнения аппроксимируется конечным множеством на целочисленной многомерной сетке, а дифференциальное уравнение Ито заменяется многошаговой цепью Маркова. Рассмотрены соответствующие примеры. Рассмотрены приложение методов коррекции движения к задаче согласования систем координат в навигации. Предполагается, что системы имеют общее начало. Одна из них (базовая) располагается на корабле или самолёте. Зависимая система принадлежит другому объекту (например, ракете), стартующему с корабля. Задача рассматривается и решается в условиях неполной информации о фазовых координатах, которые измеряются с ошибками, не имеющими статистического описания. Решение задачи осуществлено на основе указанного метода коррекции движения. Исследованы свойства устойчивости и асимптотической устойчивости линейных систем с запаздыванием и с импульсным воздействием в матрице системы, а также рассмотрены импульсные методы коррекции систем без запаздывания. Разработаны алгоритмы внешнего эллипсоидального оценивания многозначных состояний для класса билинейных динамических систем (с неизвестной точно матрицей коэффициентов в динамической системе) с импульсным управлением. Для решения исследуемой нелинейной задачи оценивания был предложен подход, основанный на использовании функций Минковского. Для билинейной системы с импульсным воздействием в матрице системы получены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения. Предполагалось, что система без импульсного управления неустойчива, а свойство асимптотической устойчивости обеспечивается за счет импульсного воздействия. Для нелинейной системы с импульсным воздействием, где также система без импульсного воздействия неустойчива, с помощью метода функций Ляпунова получено условие асимптотической устойчивости. Результаты научных исследований коллектива, полученные в 2016 году в рамках тематики Проекта, опубликованы в 14 работах, доложены на представительных международных и российских научных конференциях. Информационные ресурсы в сети Интернет (url-адреса), посвященные проекту: https://umjuran.ru/index.php/umj/article/view/62 https://umjuran.ru/index.php/umj/article/view/65 https://umjuran.ru/index.php/umj/article/view/58 http://www.usurt.ru/uploads/main/02s/582c6151722bd/Ананьев%20В.И._Желонкина%20Н.И..pdf http://lib.physcon.ru/doc?id=e01d15893ea1 http://scitation.aip.org/content/aip/proceeding/aipcp/10.1063/1.4964998 http://scitation.aip.org/content/aip/proceeding/aipcp/10.1063/1.4964973 http://www.usurt.ru/uploads/main/02r/58259ea2d0441/Гусев%20М.И._Зыков%20И.В..pdf

Публикации

1. Ананьев Б.И. An Application of Motion Correction Methods to the Alignment Problem in Navigation Ural Mathematical Journal, Vol. 2, No. 2, 2016, P. 16-26 (год публикации - 2016) https://doi.org/10.15826/umj.2016.2.002

2. Ананьев Б.И. Finitely Approximable Random Sets and their Evolution via Differential Equations AIP Conference Proceedings, Vol. 1789 (год публикации - 2016)

3. Гусев М.И. Application of penalty function method to computation of reachable sets for control systems with state constraints AIP Conference Proceedings, Volume 1773, 13 October 2016, Article number 050003, p. 1-9 (год публикации - 2016) https://doi.org/10.1063/1.4964973

4. Гусев М.И., Зыков И.В. A numerical method for solving linear-quadratic control problems with constraints Ural Mathematical Journal, Vol. 2, No. 2, 2016, P. 108-116 (год публикации - 2016) https://doi.org/10.15826/umj.2016.2.009

5. Гусев М.И., Зыков И.В. Об экстремальных свойствах граничных точек множеств достижимости управляемых систем при интегральных ограничениях Труды Института математики и механики УрО РАН, Т. 23, №1, 2017 (год публикации - 2017)

6. Матвийчук О.Г. Internal Ellipsoidal Estimates for Bilinear Systems under Uncertainty AIP Conference Proceedings, Vol. 1789 (год публикации - 2016)

7. Матвийчук О.Г. Ellipsoidal Estimates of Reachable Sets of Impulsive Control Systems with Bilinear Uncertainty CYBERNETICS AND PHYSICS, Volume 5, 2016, Number 3, published online November 15, 2016 (год публикации - 2016)

8. Сесекин А.Н., Желонкина Н.И. Stability of nonlinear dynamical systems containing the product of discontinuous functions and distributions AIP Conference Proceedings, Vol. 1789 (год публикации - 2016)

9. Сесекин А.Н., Желонкина Н.И. Impulse-sliding regimes in systems with delay Ural Mathematical Journal, Vol. 2, No. 2, 2016, P. 141-146 (год публикации - 2016) https://doi.org/10.15826/umj.2016.2.012

10. Филиппова Т.Ф. Estimates of reachable sets of impulsive control problems with special nonlinearity AIP Conference Proceedings, Volume 1773, 13 October 2016, Article number 100004, P.1-10. (год публикации - 2016) https://doi.org/10.1063/1.4964998

11. Ананьев Б.И. A Solution of Alignment Problem by Methods of Linear Correction System Analysis: Modeling and Control : Intern. Conf. in memory of Acad. Arkady Kryazhimskiy, Ekaterinburg, Russia, 3-8 Okt. 2016 : book abstr. Ekaterinburg, 2016., P. 12-13 (год публикации - 2016)

12. Ананьев Б.И., Желонкина Н.И. Условие стабилизируемости и коррекция движения линейных систем с импульсными воздействиями и запаздыванием Тезисы Всеросс. научн. конф. «Математическое моделирование и информационные технологии», УРГУПС, 16 ноября 2016 г., http://www.usurt.ru/uploads/main/02s/582c6151722bd/Ананьев%20В.И._Желонкина%20Н.И..pdf (год публикации - 2016)

13. Гусев М.И., Зыков И.В. Об экстремальных свойствах граничных точек множеств достижимости Тезисы Всеросс. научн. конф. «Математическое моделирование и информационные технологии», УРГУПС, Екатеринбург,16 ноября 2016 г., http://www.usurt.ru/uploads/main/02r/58259ea2d0441/Гусев%20М.И._Зыков%20И.В..pdf (год публикации - 2016)

14. Филиппова Т.Ф. Dynamics of set-valued estimates of reachable sets of control systems with uncertainty and nonlinearity System Analysis: Modeling and Control : Intern. Conf. in memory of Acad. Arkady Kryazhimskiy, Ekaterinburg, Russia, 3-8 Okt. 2016 : book abstr. Ekaterinburg, 2016., C. 46-48 (год публикации - 2016)

Аннотация результатов, полученных в 2017 году
Проект посвящен исследованию фундаментальных проблем многозначной динамики в задачах управления, оценивания и коррекции движений с неопределенными возмущениями детерминированного, стохастического или комбинированного типа. В соответствии с общими целями и задачами проекта в 2017 году были получены следующие основные результаты. Продолжено исследование свойства оптимальных решений экстремальных задач на трубках траекторий нелинейных динамических систем с неопределенными параметрами, изучены свойства областей достижимости нелинейных динамических систем, в которых фазовые скорости содержат несколько квадратичных функций (форм, без предположения о знакоопределенности) при одновременном наличии в динамике билинейности по матричным параметрам, а также при учете неопределенности по начальным данным. Получены новые алгоритмы оценивания нелинейных многозначных движений систем указанного класса. Построены новые алгоритмы оценивания многозначных решений для класса нелинейных динамических систем с билинейной неопределенностью (по матрице коэффициентов системы) и квадратичной нелинейностью при наличии фазовых ограничений, рассмотрено обобщение ранее полученных алгоритмов на случай произвольной квадратичной нелинейности в динамических уравнениях системы. Проведено компьютерное моделирование результатов для модельных примеров нелинейных дифференциальных управляемых систем. Исследована задача достижимости для нелинейной управляемой системы при условии, что значения интегрального функционала от управления и траектории системы ограничены сверху заданным числом, а начальное состояние принадлежит заданному множеству. Показано, что любое допустимое управление, переводящее систему на границу множества достижимости, является локальным решением некоторой задачи оптимального управления с заданным интегральным функционалом, если соответствующая линеаризованная система является вполне управляемой. Данный результат обобщает на случай интегральных функционалов достаточно общего вида результат, полученный ранее для случая квадратичных интегральных ограничений на управление. Разработаны алгоритмы численного построения границы множеств достижимости, а также проекций множества достижимости на заданное подпространство, для нелинейных управляемых систем при совместных интегральных ограничениях на управление и траекторию системы. Алгоритмы используют соотношения принципа максимума Понтрягина для граничных траекторий. Проблема определения краевых условий сопряженной системы принципа максимума сведена к решению алгебраической системы нелинейных уравнений, зависящей от векторного параметра. Реализована адаптивная схема решения системы, для двумерных проекций множеств достижимости, указанная схема сводится к интегрированию вспомогательного дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной. Проведено численное моделирование для ряда систем 2-го и 3-го порядков с использованием стандартных процедур решения неявных дифференциально-алгебраических уравнений в системе MATLAB. Рассмотрена задача минимаксного гарантированного оценивания для линейных систем с запаздыванием нейтрального типа с неопределенными входными и выходными возмущениями, принадлежащими шару гильбертова пространства. Начальное состояние системы предполагается полностью неизвестным. Были введены бесконечномерные информационные множества в подходящем гильбертовом пространстве и исследованы их свойства. Рассмотрены некоторые специальные случаи и примеры. Даны условия ограниченности бесконечномерных информационных множеств. Данный вопрос тесно связан с понятием полной наблюдаемости системы. Обсуждены подходящие критерии полной наблюдаемости рассматриваемых систем. Разработаны схемы конечномерной аппроксимации задачи. В качестве основного математического аппарата использована теория замкнутых операторов и полугрупп. В отличие от систем запаздывающего типа непрерывные решения систем нейтрального типа имеют только ограниченную вариацию и не являются абсолютно непрерывными. Поэтому были сделаны некоторые специальные предположения, обеспечившие принадлежность решений подходящему гильбертову пространству. Для задач коррекции линейных систем без запаздывания с целью минимизации конечного функционала указаны алгоритмы, согласно которым определяются моменты коррекции и возникает невозрастающая последовательность прогнозируемых значений функционала. Исследовано свойство асимптотической устойчивости билинейных динамических систем, в описании которых присутствуют слагаемые, содержащие произведения разрывных функций на обобщенные. Наличие таких слагаемых приводит к тому, что реакция на обобщенное воздействие становится неоднозначной и зависит от способа аппроксимации обобщенного воздействия, что приводит к образованию трубок разрывных решений. Получена оценка на отклонение в метрике Хаусдорфа трубки возмущенных (по начальным условиям) разрывных траекторий от трубки невозмущенных разрывных траекторий. Установлены достаточные условия асимптотической устойчивости трубок разрывных движений. Результаты научных исследований коллектива, полученные в 2017 году в рамках тематики Проекта, опубликованы в 21 работе, доложены на представительных Международных и Всероссийских научных конференциях. Информационные ресурсы в сети Интернет (url-адреса), посвященные проекту: https://umjuran.ru/index.php/umj/article/view/82/pdf http://isu.ru/ru/publication/izvestia/journal.html;jsessionid=8576DFA3BA45F62E3334BE87F49FF8FA?journal=_f12642a729c6438b9b68b8deb6b3502e https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2405896317333323 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2405896317312454 http://ceur-ws.org/Vol-1825/ http://ceur-ws.org/Vol-1825/ http://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.5007373 http://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.5007411 http://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.5007383 http://lib.physcon.ru/doc?id=a7840fc0abec

Публикации

1. Ананьев Б.И. A Guaranteed State Estimation of Linear Retarded Neutral Type Systems AIP Conference Proceedings, Vol.1895. Art. no. 050001, P. 1-8. (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1063/1.5007373

2. Ананьев Б.И. Гарантированная фильтрация линейных систем нейтрального типа ХI Междунар. Четаевская конф., 13-17 июня 2017 г. Казань, КНИТУ-КАИ : труды. Т. 3. Секц. 3: Управление. Ч. 1., С. 52-64. (год публикации - 2017)

3. Ананьев Б.И. About One Control Problem with Incomplete Information CEUR-WS Proc. 2017. Vol.1987 : 8th Intern. Conf. on Optimization and Applications (OPTIMA-2017), October 2-7, 2017, Petrovac, Montenegro: proceedings., Vol.1987, P. 52-58. (год публикации - 2017)

4. Ананьев Б.И., Желонкина Н.И. Условие стабилизируемости и коррекция движения линейных систем с импульсными воздействиями и запаздыванием CEUR Workshop Proceedings, CEUR Workshop Proceedings. 2017.Vol.1825. P. 1-11. (год публикации - 2017)

5. Гусев М.И. An algorithm for computing boundary points of reachable sets of control systems under integral constraints Ural Mathematical Journal, Vol. 3, No. 1, pp. 44-51 (год публикации - 2017) https://doi.org/10.15826/umj.2017.1.003

6. Гусев М.И. On Reachability Analysis of Nonlinear Systems with Joint Integral Constraints Lecture Notes in Computer Science, Springer, - (год публикации - 2018)

7. Гусев М.И., Зыков И.В. О задаче достижимости для нелинейной системы с интегральными ограничениями на управление Аналитическая механика, устойчивость и управление : XI Междунар. Четаевская конф., Казань, 13 – 17 июня 2017 г.: труды., Т. 3. Секц. 3. Управление. Ч. I. – Казань: КНИТУ-КАИ, 2017. С.220-228. (год публикации - 2017)

8. Гусев М.И., Зыков И.В. On Extremal Properties of Boundary Points of Reachable Sets for a System with Integrally Constrained Control IFAC-PapersOnLine, Elsevier, Vol.50: 20th World Congress (IFAC-2017), Toulouse, France, July 9-14, 2017 pp . 4082-4087. (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2017.08.792

9. Желонкина Н.И., Сесекин А.Н. Об устойчивости линейных систем с импульсным воздействием в матрице системы Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 132, ВИНИТИ РАН, М., Т. 132. С. 30–33 (год публикации - 2017)

10. Матвийчук О.Г. Ellipsoidal Estimates of Reachable Sets of Impulsive Control Problems under Uncertainty AIP Conference Proceedings, Vol.1895, Art. no. 110005, P. 1-8. (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1063/1.5007411

11. Сесекин А.Н., Желонкина Н.И. The Stability of Discontinuous Solutions of Bilinear Systems with Delay 8-th Intern. Conf. on Physics and Control (PhysCon 2017), July 17-19, 2017, Florence, Italy : proceedings. IPACS., P. 1-4. (год публикации - 2017)

12. Сесекин А.Н., Желонкина Н.И. Tubes of discontinuous solutions of dynamical systems and their stability AIP Conference Proceedings, Vol.1895, Art. no. 050011. P. 1-7. (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1063/1.5007383

13. Филиппова Т.Ф. Внешние оценки множеств достижимости управляемой системы с неопределенностью и комбинированной нелинейностью Труды Института математики и механики, Т. 23, № 1. С. 262-274. (год публикации - 2017) https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-1-262-274

14. Филиппова Т.Ф. Оценки множеств достижимости систем с импульсным управлением, неопределенностью и нелинейностью Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика., Т.19. С.205-216 (год публикации - 2017) https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.19.205

15. Филиппова Т.Ф. Estimation of Star - Shaped Reachable Sets of Nonlinear Control Systems Springer, Lecture Notes in Computer Science (LNCS), P. 209-216 (год публикации - 2018)

16. Филиппова Т.Ф. Ellipsoidal Estimates of Reachable Sets for Control Systems with Nonlinear Terms IFAC-PapersOnLine, Elsevier: 20th World Congress of the International Federation of Automatic Control (IFAC-2017), Toulouse, France, July 9-14, 2017 : proceedings., Vol. 50 (1). P. 15925-15930. (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2017.08.2460

17. Филиппова Т.Ф., Матвийчук О.Г. К задаче оценивания многозначных движений управляемой системы с неопределенностью и фазовыми ограничениями Аналитическая механика, устойчивость и управление: XI Междунар. Четаевская конф., Казань, 13 – 17 июня 2017: труды. – Казань: КНИТУ-КАИ., Т. 3. Секц. 3: Управление. Ч. III. С.136-145. (год публикации - 2017)

18. Ананьев Б.И. A Guaranteed State Estimation of Linear Retarded Neutral Type Systems Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences (AMiTaNS’17): 9th Intern. Conf., June 21-26, 2017, Albena, Bulgaria: book abstr., P. 7 (год публикации - 2017)

19. Матвийчук О.Г. Ellipsoidal Estimates of Reachable Sets of Impulsive Control Problems under Uncertainty Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences (AMiTaNS’17): 9th Intern. Conf., June 21-26, 2017, Albena, Bulgaria: book abstr., P. 43-44 (год публикации - 2017)

20. Сесекин А.Н., Желонкина Н.И. The Stability of Tubes of Discontinuous Solutions of Dynamical Systems Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences (AMiTaNS’17): 9th Intern. Conf., June 21-26, 2017, Albena, Bulgaria: book abstr., P. 88-89 (год публикации - 2017)

21. Филиппова Т.Ф Задачи оценивания многозначных движений управляемых систем с неопределенностью и нелинейностью Моделирование, оптимизация и информационные технологии : 13-я Всерос. конф. молодых ученых памяти проф. В.И.Гурмана, 13-18 марта 2017 г., Иркутск - Старая Ангасолка (оз. Байкал): тезисы. Иркутск: ИДСТУ СО РАН., С.65. (год публикации - 2017)

Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Проект посвящен исследованию фундаментальных проблем многозначной динамики в задачах управления, оценивания и коррекции движений с неопределенными возмущениями детерминированного, стохастического или комбинированного типа. В соответствии с общими целями и задачами Проекта, в 2018 году были получены следующие основные результаты. Исследована задача оценивания множеств достижимости нелинейной управляемой динамической системы с неопределенностью по исходным данным. Предполагается, что нелинейность в динамике исследуемой управляемой системы вызвана одновременным присутствием в соответствующих дифференциальных уравнениях системы билинейных и квадратичных функций. Предполагается также, что начальные фазовые векторы системы не известны точно, но принадлежат заданному эллипсоиду. Найдены точные соотношения, описывающие динамику внешних эллипсоидальных оценок для множеств достижимости управляемых систем указанного типа. Полученный результат дает возможность разработки численных алгоритмов для нахождения оценок множеств достижимости управляемых систем данного класса, в том числе при дополнительном предположении о наличии эллипсоидальных фазовых ограничений. Создана компьютерная программа в системе MATLAB, реализующая разработанные алгоритмы оценивания состояний систем указанного класса (программа представлена для регистрации в РОСРИД). Результат дополняет и расширяет на новый класс задач базовые результаты по нелинейному анализу и оцениванию динамики управляемых систем в условиях неопределенности, а также обобщает и развивает результаты, полученные на предыдущих этапах работы по проекту. Продолжено исследование проблем эллипсоидального оценивания многозначных движений импульсной системы с неопределенностью, билинейностью и векторными импульсными возмущениями (или управлениями). Найдены эллипсоидальные оценки для множеств достижимости динамических систем с неопределенностью по начальным данным, ограниченным заданным симметричным невырожденным многогранником, и векторным импульсным управлением, выбираемым из обобщенного эллипсоида в пространстве функций ограниченной вариации. Предложены алгоритмы, которые позволяют построить внешние эллипсоидальные оценки множеств достижимости билинейной управляемой системы Лотки-Вольтерры. Проведено компьютерное моделирование результатов для модельных примеров изученных дифференциальных управляемых систем. В рамках исследований по данному Проекту в работах 2017 года было показано, что допустимое управление для системы с интегральными ограничениями, переводящее траекторию на границу множества достижимости в фиксированный момент времени, доставляет локальное решение некоторой вспомогательной задачи оптимального управления с терминальными ограничениями на траекторию. В отчетном 2018 году данный результат был распространен на абстрактные управляемые системы, определяемые дифференцируемым отображением банаховых пространств, при ограничениях типа неравенства. При выполнении условий регулярности указанного отображения доказано, что каждый управляемый процесс, ведущий на границу множества достижимости, доставляет локальное решение вспомогательной экстремальной задаче. Целевым функционалом в данной задаче служит непрерывный функционал, задающий ограничение на управление в исходной задаче. Необходимые (а в некоторых случаях - необходимые и достаточные ) условия оптимальности в данной задаче дают характеризацию граничных точек и составляют основу для разработки численных процедур для построения границы множества достижимости. Рассмотрены приложения к задачам достижимости для нелинейных динамических систем с комбинированными ограничениями на управление и траекторию. Исследована задача описания границы множества достижимости аффинной по управлению управляемой системы с несколькими интегральными ограничениями на управление. Начальное состояние системы принадлежит заданному множеству, а ограничения заданы системой интегральных неравенств, в которых подынтегральные функции зависят не только от управления, но и от траектории системы. Ограничения предполагаются квадратичными по управляющим параметрам. Доказано, что допустимое управление, переводящее систему на границу множества достижимости, является слабо эффективным (слабо оптимальным по Слейтеру) решением некоторой вспомогательной задачи оптимального управления с векторным критерием и терминальными ограничениями на траекторию, если линеаризованная вдоль соответствующего управляемого процесса система является вполне управляемой. Отсюда вытекают необходимые условия оптимальности управлений, приводящих траекторию управляемой системы на границу множества достижимости, в форме принципа максимума Понтрягина. Полученные условия конкретизированы для линейных систем с квадратичными интегральными ограничениями на управление и траекторию, в данном случае принцип максимума дает необходимые и достаточные условия для граничных траекторий. Создана компьютерная программа, реализующая разработанные алгоритмы расчета и построения границы множества достижимости линейной управляемой системы 2-го порядка при двух квадратичных интегральных ограничениях на управление и траекторию. В программе реализованы два алгоритма расчета. Обоснование основного (первого) алгоритма опирается на теорему Куна-Таккера выпуклого программирования и соотношения принципа максимума Понтрягина для задач оптимального управления. Второй алгоритм использует разложение управления по ортогональным полиномам и аналог метода Монте-Карло для случайного выбора коэффициентов разложения. В качестве средства программной реализации использована система математического моделирования MATLAB. В программе используются стандартные процедуры MATLAB для интегрирования дифференциальных уравнений и численного нахождения корней систем квадратных алгебраических уравнений. Исследована задача управления для линейной эволюционной системы в гильбертовом пространстве, возмущаемой винеровским процессом с положительным ядерным оператором ковариации. Предложена процедура управления, состоящая из двух частей: минимаксной фильтрации при нулевом управлении до некоторого момента времени, а затем вычислении оптимального управления на оставшемся отрезке. Две части объединяются в проблеме нахождения случайного момента оптимальной остановки наблюдения и перехода к управлению. Разработан алгоритм численного решения задачи. В детерминированной постановке задачи управления проведена детализация алгоритма для систем с запаздыванием. Решена задача оптимизации оценивания фазового состояния линейной системы при гауссовских возмущениях с неопределенными ковариациями приращений. Параметрами, выбираемыми игроком-наблюдателем, служат матрицы при возмущении в системе и матрицы в уравнении измерения. Неопределенные матрицы приращений выбираются игроком-противником. Задача сводится к дифференциальной игре для уравнения Риккати с критерием качества в виде следа матрицы. В частном случае рассматривается задача с постоянными матрицами. Для решения указанной задачи оценивания использованы методы минимаксной оптимизации, теории оптимального управления и теории дифференциальных игр. Исследованы задачи описания и оценивания трубок движений импульсной управляемой системы с переменной структурой, изучены свойства решений билинейной системы с импульсным воздействием в матрице системы и запаздыванием в предположении, что матрицы при координатах импульсного воздействия некоммутативны. В этой ситуации, как следствие, естественным образом вместо отдельных траекторий возникают трубки разрывных решений. Для указанных трубок разрывных решений найдены подходящие формализации понятий устойчивости и асимптотической устойчивости рассматриваемых обобщенных движений. Для билинейной системы получены достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости трубок разрывных движений. Результаты научных исследований коллектива, полученные в 2018 году в рамках тематики Проекта, опубликованы в 21 работе и имеют индексацию в соответствующих системах цитирования. В 2018 году по результатам исследований за весь период работы по Проекту подготовлена монография: Ананьев Б.И., Гусев М.И., Филиппова Т.Ф. "Управление и оценивание состояний динамических систем с неопределенностью", Новосибирск, Издательство Сибирского отделения Российской Академии наук (монография сдана в печать в 2018 году, публикация книги ожидается в первом квартале 2019 года). Две вычислительных программы (алгоритмы вычислений для классов задач по темам проекта) представлены для регистрации в системе ЕГИСУ НИОКТР - РОСРИД (www.rosrid.ru). Научные результаты участников исследовательского коллектива доложены в 2018 году на ряде представительных Международных и Всероссийских научных конференций, в полном соответствии с планом на отчетный год (2018). Информационные ресурсы в сети Интернет (url-адреса), посвященные проекту: https://ifip2018.de/frontend/converia/media/IFIP_2018/programme/IFIP18_Abstracts.pdf https://link.springer.com/article/10.1134%2FS0005117918010022 http://stab18.ipu.ru/sites/default/files/news/Book%20STAB-18%28ru%29.pdf http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=at&paperid=14698&option_lang=rus https://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.5064893 https://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.5064932 https://link.springer.com/article/10.1134/S0081543818020116 https://link.springer.com/article/10.1007/s10958-018-3767-3 https://ieeexplore.ieee.org/document/8408379 https://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.5064934 https://orcos.tuwien.ac.at/fileadmin/t/orcos/ORCOS/VC2018/programbook-VC2018.pdf https://link.springer.com/journal/11501/301/1/suppl/page/1 https://link.springer.com/article/10.1134/S0081543818050036

Публикации

1. Ананьев Б.И. Задача управления эволюционными системами с неполной информацией Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого): Материалы XIV Международной научной конференции, 30 мая-01 июня 2018, Москва. Редактор - В.Н. Тхай. 2018, С. 20-23 (год публикации - 2018)

2. Ананьев Б.И. Some Aspects of Statistically Uncertain Minimax Estimation IFAC-PapersOnline, Elsevier Science Publishing Company, - (год публикации - 2018)

3. Ананьев Б.И. Optimizing estimation of a statistically undefined system Automation and Remote Control, Vol. 79, Issue 1, pp 12–23. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1134/S0005117918010022

4. Ананьев Б.И. Оценивание финальных состояний стохастических систем в условиях неопределенности Динамические системы: Устойчивость, Управление, Оптимизация: Материалы Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика Е.А. Барбашина, 24-29 сентября 2018, Минск, Белоруссия, С.59-31 (год публикации - 2018)

5. Гусев М.И. Computing the Reachable Set Boundary for an Abstract Control Problem AIP Conference Proceedings, Vol.2025, Art. no. 040009, P. 1-10. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1063/1.5064893

6. Гусев М.И., Зыков И.В. An algorithm for computing reachable sets of control systems under isoperimetric constraints AIP Conference Proceedings, Vol.2025, Art. no. 100003, P. 1-10. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1063/1.5064932

7. Гусев М.И., Зыков И.В. On Extremal Properties of the Boundary Points of Reachable Sets for Control Systems with Integral Constraints PROCEEDINGS OF THE STEKLOV INSTITUTE OF MATHEMATICS, Том: 300 Стр.: 114-125 Приложение: 1 (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1134/S0081543818020116

8. Желонкина Н.И., Сесекин А.Н. On stability of linear systems with impulsive action at the matrix Journal of Mathematical Sciences, Vol. 230, Issue 5, pp. 673–676 (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1007/s10958-018-3767-3

9. Желонкина Н.И., Сесекин А.Н. Об устойчивости слабо нелинейных систем с импульсным воздействием и запаздыванием ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ: Материалы конференции, посвященной 95-летию со дня рождения профессора Н. В. Азбелева, 17-19 мая 2017, Пермь., С. 108-114 (год публикации - 2018)

10. Матвийчук О.Г. Estimates of the reachable set of nonlinear control system under uncertainty AIP Conference Proceedings, Vol.2025, Art. no. 100005, P. 1-8. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1063/1.5064934

11. Матвийчук О.Г. Estimates of the trajectory tubes of impulsive control systems IEEE Xplore Digital Library: Proceedings of the 14th International Conference Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiys Conference), STAB 2018, p.1-4 (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1109/STAB.2018.8408379

12. Матвийчук О.Г. Оценки трубок траекторий импульсных управляемых систем Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого): Материалы XIV Международной научной конференции, 30 мая-01 июня 2018, Москва. Редактор - В.Н. Тхай. 2018, С. 288-291 (год публикации - 2018)

13. Сесекин А.Н., Желонкина Н.И. Об устойчивости разрывных решений билинейных систем с импульсным воздействием в матрице системы и с запаздыванием ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: УСТОЙЧИВОСТЬ, УПРАВЛЕНИЕ, ОПТИМИЗАЦИЯ: Материалы Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика Е.А. Барбашина, 24-29 сентября 2018, Минск, Белоруссия, С. 200-201 (год публикации - 2018)

14. Филиппова Т.Ф. External Estimates for Reachable Sets of a Control System with Uncertainty and Combined Nonlinearity Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Volume 301, Supplement 1, pp 32–43 (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1134/S0081543818050036

15. Филиппова Т.Ф. Description of Dynamics of Ellipsoidal Estimates of Reachable Sets of Nonlinear Control Systems with Bilinear Uncertainty Lecture Notes in Computer Science, Springer, - (год публикации - 2019)

16. Ананьев Б.И., Гусев М.И., Филиппова Т.Ф. УПРАВЛЕНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ НОВОСИБИРСК, ИЗДАТЕЛЬСТВО СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, - (год публикации - 2019)

17. Ананьев Б.И. Control of time-delay stochastic systems with uncertainties 28TH IFIP TC 7 Conference on System Modelling and Optimization July 23–27, 2018 Universität Duisburg-Essen, Essen, Book of Abstracts, P. 34 (год публикации - 2018)

18. Гусев М.И. Computing reachable sets of nonlinear systems with isoperimetric constraints 14-th Viennese Conference "Optimal control and dynamic games", p.134 (год публикации - 2018)

19. Матвийчук О.Г. Estimates of the Reachable Set of the Lotka-Volterra System Under Uncertainty Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences (AMiTaNS’18): 10th Jubilee Intern. Conf., June 20-25, 2018, Albena, Bulgaria: book abstr., p.42 (год публикации - 2018)

20. Филиппова Т.Ф. Approximation approaches for trajectory tubes of differential inclusions with impulsive terms Optimal Control and Dynamic Games, Vienna University of Technology : 14-th Viennese Conf., July 3-6, 2018: abstracts. Vienna, Austria, 2018., P.53 (год публикации - 2018)

21. Филиппова Т.Ф. State estimation problem for impulsive control system under uncertainty SYSTEM MODELLING AND OPTIMIZATION : 28TH IFIP TC 7 CONFERENCE, July 23–27, 2018, Duisburg-Essen University, Essen, Germany: abstracts. Essen, 2018., P.34 (год публикации - 2018)

22. Зыков И.В. Алгоритм построения границы множества достижимости при совместных интегральных ограничениях на управление и траекторию -, Присвоенный интернет-номер: АААА-Г18-618112700048-8 (год публикации - )

23. Филиппова Т.Ф., Матвийчук О.Г. Расчет эллипсоидальных оценок для множеств достижимости динамических систем с билинейно-квадратичной нелинейностью и неопределенностью -, Присвоенный интернет-номер: АААА-Г18-618112700046-4 (год публикации - )

Возможность практического использования результатов
Новые подходы и методы построения множеств достижимости для систем с многозначной динамикой, отвечающей всем особенностям задач управления и оценивания состояний нелинейных управляемых систем, рассмотренных в рамках Проекта в период работы исследовательского коллектива в 2016-2018 гг., могут найти применение в междисциплинарных исследованиях сложных процессов, происходящих в технических системах, в создании новых подходов и алгоритмов моделирования сложных управляемых механических агрегатов, в робототехнике, электронике, при исследовании и моделировании комплексных экономических систем, моделировании биологических процессов в условиях неопределенности и нелинейности, при контроле климатических изменений и других прикладных областях.