Аннотация результатов, полученных в 2017 году
Наш проект посвящён такому важному явлению, играющему ключевую роль в обеспечении жизни на Земле, как фотосинтез. А именно, поскольку проект по математике, – математическим вопросам, связанным с начальной стадией фотосинтеза – фотофизической стадией. На этой стадии происходит поглощение молекулой хлорофилла кванта света и его перенос в фотосинтетический реакционный центр. Молекулы хлорофилла вместе с молекулами белка, к которым они прикреплены, образуют специальные светособирающие комплексы. В 2010 году было сделано открытие, заключающееся в том, что перенос энергии возбуждения в светособирающих комплексах в реакционный центр происходит по законам не классической, а квантовой механики, т.е. волновым, когерентным образом. Он характеризуется тем, что энергия возбуждения сосредоточена не на одной молекуле, а сразу на нескольких, и может распространяться параллельно несколькими путями. Удивительно, что, как оказалось, это возможно не только при температурах, близких к абсолютному нулю, но даже при физиологической («комнатной») температуре, при которой тепловое движение должно, как ожидается, разрушать квантовые эффекты. Надо отметить, что данный процесс переноса имеет высокую эффективность: более 95% поглощённых квантов света успешно переносится в реакционный центр. В связи с этим возникают два вопроса: как природе удаётся сохранять квантовую когерентность даже при физиологических температурах и какова роль этой квантовой когерентности в эффективном переносе энергии в реакционный центр. Исследования в этой области важны не только с фундаментальной точки зрения (фотосинтез – основа жизни на Земле), но и с прикладной. Во-первых, это связано с созданием эффективных солнечных элементов (соответствует направлению Стратегии НТР РФ «Переход к экологически чистой и ресурсосберегающей энергетике»). Во-вторых, с созданием квантового компьютера, в котором борьба с разрушением квантовой когерентности – также одна из основных. Оказывается, что помимо физических и биологических исследований в этой области здесь необходимы и математические исследования, поскольку имеющийся сейчас математический аппарат описания динамики переноса энергии возбуждения недостаточен. Наш проект во многом посвящён развитию необходимого математического аппарата, выводу соответствующих уравнений динамики. Другой математический вопрос, которым мы занимаемся, – это математическое исследование свойств и структуры решений этих уравнений. Используемый в этой области исследований математический аппарат – теория открытых квантовых систем, т.е. квантовых систем, взаимодействующих с большим резервуаром (окружением). В качестве системы здесь выступают электронные степени свободы молекул (переходы электронов с основной орбитали на возбуждённые и обратно), а качестве резервуара – вибрационные степени свободы молекул (молекулы вибрируют около своих положений равновесия). Точные уравнения, описывающие динамику «большой» системы (т.е. системы и резервуара) формально известны, однако их решение, даже численное, на компьютере, получить очень трудно. Поэтому необходимо, образно говоря, выделить существенные особенности динамики, пренебречь несущественными и получить приближённые уравнения, которые уже можно решить. К настоящему моменту хорошо разработана теория так называемых марковских открытых квантовых систем (по имени русского математика А.А.Маркова, 1856–1922 гг.), когда резервуар не имеет памяти, быстро приходит к своему равновесному состоянию. Про систему тогда иногда говорят, что она обладает «автоматной» памятью, т.е. её последующая динамика зависит только от её текущего состояния. Марковское приближение верно, например, тогда, когда система и резервуар связаны друг с другом относительно слабо. Но для светособирающих комплексов это как раз часто неверно, поэтому необходим вывод уравнений немарковской динамики, описывающих эффекты памяти в резервуаре. Теперь мы можем описать наши результаты, полученные в первый год выполнения проекта. Во-первых, мы вывели поправки к известным марковским уравнениям динамики открытых квантовых систем (уравнениям Редфилда и Горини–Коссаковски–Сударшана–Линдблада), учитывающие немарковские эффекты. Во-вторых, мы получили уравнения, позволяющие учесть влияние интенсивных вибраций белка на перенос возбуждений и сохранение волновых (квантовых) свойств в процессе этого переноса в светособирающих комплексах. Как правило, уравнения, описывающие такой перенос, пишутся для так называемых населённостей электронных уровней энергии и когерентностей между ними, которые вместе полностью характеризуют статистические свойства возбуждений. Однако, наше исследование показывает, что учёт высокочастотных интенсивных вибраций белка может быть осуществлён посредством расширения набора величин, относительно которых пишется уравнение. Вспомогательные величины не несут прямого физического или статистического смысла, но упрощают вид уравнений и процесс их решения. В результате такой подход позволяет найти аналитические выражения для населённостей и когерентностей. В-третьих, мы изучали процессы переноса в неравновесных квантовых системах при наличии вырожденных уровней энергии (т.е. когда нескольким электронным состояниям может соответствовать один и тот же уровень энергии). Поток (скорость переноса) зависит от параметров системы. Изучалась зависимость потока от угла между ”светлыми” векторами, задающими взаимодействие системы с окружением. Было показано, что в некотором приближении для рассматриваемой системы поток пропорционален квадрату косинуса угла между ”светлыми” векторами. Ранее было показано, что в такой вырожденной квантовой системе возможно возбуждение долгоживущих квантовых ”тёмных” состояний, причём эффективность такого возбуждения пропорциональна квадрату синуса угла между ”светлыми” векторами (это обсуждалось как возможная модель возбуждения квантовых когерентностей при явлении квантового фотосинтеза). Таким образом, квантовый перенос и возбуждение тёмных состояний являются конкурирующими явлениями, возбуждение ”тёмных” состояний является результатом утечки квантовых состояний в квантовой термодинамической машине, предназначенной для реализации процесса переноса. Теория открытых квантовых систем имеет множество приложений для описания физических систем, в том числе для описания квантовых эффектов в биологии и фотосинтезе. Как и многие физические системы, открытые квантовые системы могут находится в специальном режиме, который называется режимом сильной связи системы с резервуаром. В таких системах взаимодействие велико и многие методы, работающие вне режима сильной связи являются неприменимыми. Одним из методов работающих хорошо в режиме сильной связи является так называемая голографическая дуальность. Данный метод также хорошо работает, если исследуемые системы являются неравновесными и эволюционирующими во времени. В работах за прошедший период голографическая дуальность была применена для исследования системы, эволюционирующей после глобального возмущения, при этом система находится изначально при фиксированной температуре. В такой системе можно выделить ряд подсистем, сходных с разбиением на узлы в светособирающих комплексах и провести вычисление различных характеристик таких подсистем. Примером таких характеристик является энтропия зацепленности (также говорят «запутанности»), взаимная информация и т.д. Используя голографическую дуальность, было показано, что для разбиения системы на подсистемы из множества узлов энтропия зацепленности и взаимная информация демонстрируют негладкое поведение. Были получены различные аналитические результаты описывающие поведение энтропии зацепленности для случая одного отрезка. Мы показали, что энтропия зацепленности для больших отрезков и времен распространяется в виде «цунами». Также данный режим называется режимом «потери памяти», в силу того, что зависимость энтропии от двух характеристик отрезка (размер и время эволюции системы) меняется на зависимость от разницы размера и времени.

Аннотация результатов, полученных в 2018 году
В отчётном году мы продолжили работы, направленные на разработку математических моделей и методов описания немарковской динамики в процессах переноса энергии возбуждения на начальной стадии фотосинтеза, в светособирающих комплексах. Основной математический аппарат этой области науки – теория открытых квантовых систем, т.е. квантовых систем, взаимодействующих с окружением («резервуаром»). Роль «системы» играют электронные возбуждения молекул, роль «резервуара» – колебательные степени свободы молекул. К настоящему моменту хорошо разработана теория так называемых марковских открытых квантовых систем (по имени русского математика А.А.Маркова, 1856–1922 гг.), когда резервуар не имеет памяти, быстро приходит к своему равновесному состоянию. Про систему тогда иногда говорят, что она обладает «автоматной» памятью, т.е. её последующая динамика зависит только от её текущего состояния. Марковское приближение верно, например, тогда, когда система и резервуар связаны друг с другом относительно слабо. Но для светособирающих комплексов это как раз часто неверно, поэтому необходим вывод уравнений немарковской динамики, описывающих эффекты памяти в резервуаре. В этом отчётном году мы разработали несколько моделей немарковской динамики, т.е. когда между состоянием системы и неравновесным состоянием резервуара присутствует цикл обратной связи: система выводит из равновесного состояния резервуар, что, в свою очередь, влияет на динамику системы. Основная сложность построения таких моделей состоит в том, что резервуар содержит бесконечное число степеней свободы, поэтому необходимо выделить конечное число степеней свободы резервуара, участвующих в цикле обратной связи. Перечислим основные результаты этого отчётного года. 1. Выведены общие уравнения для наблюдаемых резервуара в рамках метода проекционных операторов Цванцига. Выведены явные уравнения для количества фотонов/фононов в заданной моде резервуара. Этот результат существенно расширяет применимость метода проекционных операторов, поскольку обычно он используется для вывода кинетических уравнений (master equations) для приведённой матрицы плотности системы, которые ничего не говорят о том, что происходит с резервуаром. Мы устранили это ограничение. 2. Получены формула для когерентностей (внедиагональных элементов матрицы плотности) в рамках теории Фёрстера и модифицированной теории Редфилда переноса энергии. Это также существенно расширяет область применимости этих теорий, поскольку отсутствие возможности расчёта когерентностей рассматривалось многими специалистами как серьёзное ограничение этих теорий, в особенности касательно исследования роли квантовых когерентных эффектов в переносе энергии. Показано, что динамика полной матрицы плотности оказывается немарковской, зависимой от состояния резервуара. 3. На перенос энергии в светособирающих комплексах растений и других организмов можно смотреть как на перепрыгивание возбуждений между несколькими энергетическими уровнями системы, которая взаимодействуют с внешним окружением, в качестве которого выступают колебательные степени свободы белка. Было показано, что если взаимодействие системы с окружением существенно только вблизи нескольких конкретных частот, то это эквивалентно тому, что возбуждения начинают также перепрыгивать на энергетические уровни, соответствующие этим частотам («псевдомодам»). Таким образом, этот подход позволяет выделить конечное число степеней свободы резервуара: псевдомоды содержат всю необходимую информацию о состоянии резервуара. 4. Была построена и другая модель, где цикл обратной связи существует с одной выделенной вибрационной (вибронной) модой резервуара, которая описывается как классическая (т.е. обычная, не квантовая) переменная. Модель построена по аналогии с полуклассической моделью лазера. Были вычислены потоки (скорость квантового переноса) в такой системе и было показано, что вибронная мода может служить усилителем квантового переноса. 5. В рамках проекта разрабатывается принципиально новый подход к описанию процессов переноса энергии в светособирающих комплексах. Как и многие физические системы, открытые квантовые системы, в частности светособирающие комплексы, могут находится в специальном режиме, который называется режимом сильной связи. В таких системах взаимодействие велико и многие методы, работающие вне режима сильной связи, неприменимы. Одним из методов, работающих хорошо в режиме сильной связи, является так называемая голографическая дуальность. Данный метод также хорошо работает если исследуемые системы являются неравновесными и эволюционирующими во времени. В работах за прошедший период голографическая дуальность была применена для исследования системы, эволюционирующей после локального возмущения, при этом система находится изначально при фиксированной температуре. Исследование локальных величин не дает полной картины об эволюции всей системы. Одной из важнейших величин для исследования является нелокальная мера энтропия зацепленности. Однако можно построить величины, которые улавливают более тонкие динамические свойства системы. Такой величиной, например является квантовая сложность. Исследования проведенные за 2018-2019 год показывают, что это действительно так. После локального возмущения при конечной температуре энтропия зацепленности быстро перестает меняться. В тоже время квантовая сложность испытывает неограниченный и как можно показать, линейный рост. Также нами было показано как хаотические свойства системы могут быть разрушены добавлением так называемого химического потенциала. Грубо говоря, чем больше величин сохраняющихся присутствует в системе тем меньше хаотического (несохраняющегося) поведения. В модели максимально хаотической сильновзаимодействующей квантовой системы был открыт новый класс эффектов, который находится вне рамок обычного описания с помощью разложения по степеням обратного количества цветов. Эти эффекты возникают как нетривиальные седловые точки статистической суммы модели. Для построения соответствующих решений использовались аналитические и численные методы решения интегро-дифференциальных уравнений.

Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Предыдущие два года выполнения проекта были посвящены разработке математических моделей и методов описания немарковской динамики в процессах переноса энергии возбуждения на начальной стадии фотосинтеза, в светособирающих комплексах растений и других фотосинтезирующих организмов. Основной математический аппарат этой области науки – теория открытых квантовых систем, т.е. квантовых систем, взаимодействующих с окружением («резервуаром»). Роль «системы» играют электронные возбуждения молекул, роль «резервуара» – колебательные степени свободы молекул. Динамика открытой квантовой системы называется марковской, если отсутствуют эффекты памяти, т.е. если по состоянию системы в некоторый момент времени можно предсказать дальнейшую динамику. Это свойство нарушается для реалистичных систем, поэтому в настоящее время активно изучаются модели немарковской динамики открытых квантовых систем. В отчетном году был получен новый тип немарковской динамики, не рассматривавшийся до этого. Также в предыдущем году мы провели расчеты динамики переноса энергии по выведенным уравнениям и формулам для конкретной биологической молекулярной системы: светособирающего комплекса Фенна–Мэтьюса–Ольсона у некоторых видов бактерий. В этом году мы провели расчеты для другой системы: светособирающего комплекса PE545. Внимание исследователей всего мира по данной тематике приковано к вопросу о механизмах эффективного переноса энергии в светособирающих фотосинтетических комплексах. В частности, предполагается, что важную роль играют выделенные колебательные степени свободы молекул, сильно взаимодействующие с электронными степенями свободы. С помощью выведенных формул и проведенных по ним расчетов нам удалось подтвердить их роль в усилении переноса энергии. Также получены поправки к формулам спектров поглощения и испускания комплексов с учетом внедиагональных элементов матрицы плотности. Мы продолжили изучение точно решаемых упрощенных моделей переноса энергии в светособирающих комплексах. Были получены точные решения для широкого класса многоуровневых систем, взаимодействующих с несколькими резервуарами. Кроме того, было показано, что приближённые уравнения для некоторых экспериментально наблюдаемых на спектроскопии величин совпадают с точными. Исследование локальных величин зачастую не дает полной картины об эволюции всей системы. Одной из важнейших величин для исследования является нелокальная мера, которая называется энтропией зацепленности. Однако можно построить величины, которые улавливают более тонкие динамические свойства системы. Такой величиной, например является квантовая сложность которая обладает большей мерой нелокальности. После локального возмущения при конечной температуре энтропия зацепленности быстро перестает меняться. В тоже время квантовая сложность испытывает неограниченный и, как можно показать, линейный рост, что является свидетельством скрытой эволюции системы. Исследовалось явление квантового хаоса в упрощенной модели случайно взаимодействующих частиц. Рассматривался случай модели, который не демонстрирует хаоса на квазиклассическом уровне. Путем изучения наблюдаемых, которые чувствительны к тонким универсальным характеристикам квантового хаоса, было выяснено, в чем отличие ключевых ингредиентов, ответственных за хаотические свойства, от модели, которая демонстрирует максимально сильный хаос. В отчетом году также были проведены следующие работы в области применения методов математической физики к биологии. В работах Ю.И. Манина развивался подход к описанию степенного закона Ципфа для распределения частот слов в корпусах текстов, основанный на модели статистической механики, в которой роль гамильтониана играет функция колмогоровской сложности. Е.В. Кунин обсуждал гипотетическую модель взаимодействующего газа генов, который бы объяснял наблюдающиеся в геномике степенные законы. Естественно предположить, что такие степенные законы являются аналогом закона Ципфа и должны объясняться по механизму, предложенному Ю.И.Маниным. В работе, выполненной в рамках проекта, предлагается смотреть на биологическую эволюцию как на температурную модель обучения, где в качестве регуляризующего вклада в функционал обучения используется некоторая вычислимая взвешенная оценка для колмогоровской сложности.