Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Результаты первого года работы проектной группы содержат как получение плановых самостоятельных результатов (создание модифицированных моделей, методов и решений, результатов численного анализа и т.д.), так и создание научного задела для успешного решения задач второго и третьего года работы проектной группы, а именно: В качестве первого этапа разработки вычислительных методов решения уравнения кристаллического фазового поля для моделирования бинарных соединений, проведена постановка расширенного гиперболического уравнения для бинарных систем с помощью связывающих членов. Сформировано описание свободной энергии и выведены динамические уравнения для поля атомной плотности и средней концентрации. Получено амплитудное разложение для поля атомной плотности в гиперболической модели для бинарных систем. Сделана запись функционала свободной энергии в приближении малых деформаций, проведён расчёт термодинамических параметров для конкретных кристаллических симметрий. Для получения требуемых новых результатов математического моделирования кинетики фазовых переходов в метастабильных системах, включающего нуклеацию и рост кристаллов, сделано обобщение разработанной ранее теории и моделей описания кинетики фазовых переходов на более общую зависимость коэффициента “диффузии” функции распределения по пространству размеров, которое работает в более широком диапазоне размеров кристаллитов (не только в окрестности размеров критического зародыша). Кроме этого, обобщение также сделано на другие законы скорости роста кристаллов. Развита модифицированная модель для произвольной зависимости частоты нуклеации от степени метастабильности по аналогии с упомянутыми работами авторского коллектива. Детализированы основные механизмы роста зародышей, дано аналитическое определение нестационарной функции распределения кристаллов по размерам и динамической зависимости пересыщения (переохлаждения) от времени на промежуточной стадии фазового перехода. В рамках задачи по исследованию высокоскоростного затвердевания бинарных сплавов фазово-полевым методом в применении к задачам роста кристаллов была разработана рабочая модель процесса для набора параметров сплавов. Был проведен численный анализ наблюдений за поведением роста кристаллов, также при помощи математического моделирования методами фазового поля было оценено, на сколько можно повлиять на разветвленность и длину боковых плеч дендритных форм и проанализировано, при каких условиях вокруг дендрита будет существовать некоторая жидкая/ тепловая оболочка. Проведён кристаллографический анализ дендритов для определения преимущественного кристаллографическое направления роста, а также осуществлена проверка, существует ли воспроизводимый процесс выбора ориентации на поверхности сразу после начала затвердевания. Для быстрого роста кристаллов в поликристаллических сплавах была проведена адаптация фазово-полевой модели для условий быстрого роста кристаллов в поликристаллических сплавах. Разработанная модель включает уравнения тепломассопереноса, кинетическое уравнение для затвердевания (и плавления) с двухфазной зоной. Разработан ряд блоков и модулей облачного сервиса для исследователей в частности, веб-интерфейс доступа к расчетам, программная реализация моделей и др.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Результаты второго года работы проектной группы развивают наработки первого года проекта и содержат как получение плановых самостоятельных результатов (развитие модифицированных моделей, разработка новых методов и решений, результатов численного анализа и т.д.), так и создание научного задела для успешного решения задач третьего, заключительного года работы группы по проекту. В рамках второго этапа проекта разработан устойчивый численный алгоритм решения модифицированных моделей кристаллического фазового поля, в том числе для бинарных соединений. Реализована поддержка технологии MPI для параллельных вычислений. Проведены исследования по влиянию термодинамических шумов на формирование кристаллических структур. Работы являются логическим продолжением исследований первого года проекта. В отличие от известных (и критикуемых) подходов по введению стохастического «шумового» терма в уравнение кристаллического фазового поля, при которых теряется консервативность параметра порядка (атомной плотности в терминах модели), разработанная членами коллектива теория позволяет сохранять консервативность системы за счет рассмотрения статистического ансамблевого усреднения коррелированных флуктуаций, которые приводят к появлению цветного шума в потоке подобно флуктуациям диффузионного потока атомов в спинодальном разложении. Стохастическая модель кристаллического фазового поля с корреляциями шума по пространству и времени позволила оценить влияние термодинамических флуктуаций на преодоление энергетического барьера вблизи метастабильных фаз. Было показано, что коррелированность флуктуаций во времени ускоряет прохождение метастабильных фаз, в то врем как коррелированность по пространству наоборот замедляет этот процесс. В части моделирования бинарных соединений была сформулирована трехмерная модель кристаллического фазового поля с функционалом свободной энергии и специфическим вектором решетки для жидкой фазы и гексагональных кристаллов, построена структурная схема сосуществования жидкой и трехмерной гексагональной фазы для бинарной модели. Исследована математическая модель, описывающая метастабильную бинарную систему в кристаллизаторе, где происходит зарождение и эволюция твердофазных частиц. Используя метод седловой точки для вычисления интеграла типа Лапласа, построено аналитическое решение. Это решение определяет динамические зависимости для переохлаждения расплава и функции распределения размеров кристаллов. Представленная теория может быть применена к любой кинетике нуклеации. Показано, что рассматриваемая теория зарождения и роста кристаллов в переохлажденном бинарном расплаве может быть объединена с теорией направленной кристаллизации при наличии двухфазной зоны, используя разработанные ранее математические теории направленного затвердевания. Проведены вычислительные эксперименты по изучению влияния потока переохлаждённой жидкости на концентрацию и температуру вокруг растущего дендритного кристалла. Исследовано влияние на форму дендрита потока переохлаждённой жидкости, приводящего к короткому или подавленному росту вторичного плеча дендрита. Разработана интегро-дифференциальная модель дендритного роста с конвекцией, найдены её квазистационарные решения для различной кинетики присоединения частиц к межфазной границе. Выполнены сопоставления с экспериментальными данными для алюминиевых сплавов и водно-солевой смеси следующих зависимостей: скорость роста вершины дендрита - полное переохлаждение и радиус вершины дендрита - полное переохлаждение. Получены аналитические решения в одномерном пространстве для различных граничных и начальных условий с постоянной скоростью затвердевания, т.е. для автомодельных режимов «бегущих волн». Наконец, существенная работа проделана коллективом в части программной реализации научно-исследовательского облачного сервиса открытого доступа для решения задач моделирования кристаллических микроструктур вещества: разработана архитектура облачного сервиса, реализована поддержка решателей на базе языка Wolfram, библиотек Python и библиотек C++. Реализована очередь задач, возможность параллельных вычислений в рамках выделенных ресурсов. По состоянию на конец 2го этапа проекта облачный сервис успешно размещен на хостинг сервере в режиме тестовой эксплуатации. В ходе тестовой эксплуатации проводилась работа с сервисами по моделированию процессов направленной кристаллизации с резким фронтом (квазистационарная задача Стефана) и с двухфазной зоной на фронте фазового превращения. Была собрана статистика результатов моделирования при различных начальных, граничных условиях, а также при изменении свойств материала (тестовые расчеты производились для морской воды с разной концентрацией примеси). Ключевым результатом анализа собранной статистики стала оценка области устойчивости для используемых моделей и построение вероятностной модели устойчивого роста твердой фазы вещества в зависимости от краевых условий и свойств моделируемой системы. В рамках второго этапа проекта членами научного коллектива опубликовано 6 научных работ, в том числе 4 публикации по проекту в рецензируемых российских и зарубежных научных изданиях, индексируемых в базах данных «Сеть науки» (Web of Science Core Collection) или «Скопус» (SCOPUS), из них 3 публикации выполнено в изданиях, входящих в первый квартиль (Q1) по импакт-фактору, результаты исследований представлены и получили высокую оценку при обсуждении в научном сообществе на ведущих всероссийских конференциях (в том числе ММЕН, НСКФ, ФТИ), зарегистрировано и подано на регистрацию 2 РИД (программы для ЭВМ).

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Результаты третьего года работы проектной группы представлены как созданными с использованием научного задела группы по результатам выполнения первого и второго года реализации проекта, так и плановыми самостоятельными результатами (создание модифицированных моделей, методов и решений, результатов численного анализа и т.д.), в совокупности обеспечивающих успешное завершение работы по проекту, а именно: (1) проведены симуляции режимов кристаллизации кубических (BCC, FCC) и гексагональных (HCP) решёток для бинарных сплавов нитрида бора. Получены результаты параметров решеток и проведено их сравнение с аналитическими и экспериментальными предсказаниями. Получено хорошее согласование величин, что говорит о корректности модели и оценок коэффициентов функционала свободной энергии для конкретного вещества, полученных на предыдущем этапе проекта. Отдельным результатом было получение критериев сходимости для численных симуляций методом кристаллического фазового поля в двухмодовой постановке, необходимой для корректного описания нескольких координационных сфер кристаллической структуры. Показано влияние размеров конечных элементов и порядка их дискретизации на аппроксимацию решения двухмодовой модели КФП для случая движения плоского фронта кристаллизации. Исследована сходимость решения на сетке для описания динамики движения фронта и формирования периодической структуры. Рассчитаны конкретные безразмерные критерии сходимости относительно периода описываемого периодического решения в двумерных и трехмерных задачах для линейных и квадратичных конечных элементов. (2) В части математического моделирования кинетики фазовых переходов в метастабильных системах, включающего нуклеацию и рост кристаллов, сформулирована соответствующая краевая задача для динамики двухфазной зоны трансформации с включением зародышей, преодолевающих критический размер. С помощью метода седловой точки удалось получить аналитическое решение для метастабильной системы, в том числе для условий промышленных кристаллизаторов, дано с помощью модификации ранее разработанных коллективом методов, а также новых подходов, разработанных на первой стадии реализации проекта. Разработано описание условий реальных кристаллизаторов, выражающийся наличием дополнительного слагаемого в уравнении Фоккера-Планка (слагаемое, пропорциональное произведению функции распределения на скорость отвода кристаллов); балансовые уравнения учитывают источниковые (стоковые) слагаемые. Решение задачи было представлено на обсуждение и получило высокую оценку специалистов в рамках тематического научного семинара в Университете им. Фридриха Шиллера (г. Йена, Германия). (3) В рамках задачи по исследованию высокоскоростного затвердевания бинарных сплавов фазово-полевым методом проведены симуляции направленного затвердевания сплава AlNi для изотермического случая. Были получены сопоставления результатов симуляций с расчетами по методу двухфазной зоны, развиваемого в рамках текущего проекта, и с экспериментами по изучению зарождения и росту кристаллов в сильно переохлажденных расплавах, характеризующихся быстрым дендритным ростом и сопровождающей рекалесценцией. На качественном уровне было показано хорошее соответствие достигнутых показателей кинетики с помощью фазово-полевого моделирования по результатам экспериментов. Количественные расхождения требуют дополнительных исследований и, возможно, обусловлены наличием примесей в составе расплава. (4) В части исследования быстрого роста кристаллов в поликристаллических сплавах проведена оценка энергии раздела твердое тело-жидкость по разным термодинамическим моделям фазово-полевых границ раздела поликристаллических сплавов; проверены существующие результаты моделирования с помощью модели для сбора кинетических параметров, которые требуются для сформулированной модели двухфазной зоны, таких как подвижность границы раздела, времена релаксации для потоков диффузии атомов и диффузия растворенного вещества, скорость на границе раздела и в объемных фазах. Кроме того, была развита модель образования трещин, основанная на вычислении угла взаимной ориентации зерен и сопутствующей энергии на границах. Данный результат значительно расширяет возможности развиваемых в проекте фазово-полевых методов и определяет области применимости теории двухфазной зоны. (5) В части разработки научного веб сервиса осуществлён переход к стадии тестирования и практического применения платформы, созданной на втором этапе проекта. Платформа содержит несколько реализованных программных модулей для симуляции фазовых переходов, систему регистрации пользователей и смежную с ней систему хранения результатов симуляций (журнал моделирования). Практическое тестирование сервиса осуществлялось в рамках безвозмездной коллаборации с индустриальной компанией, специализирующейся на разработке и внедрении интеллектуальных систем управления биореакторами: были использованы данные с экспериментальных стендов по фазовым переходам в газожидкостных потоках. Результаты тестов показали как устойчивость разработанного сервиса к высокочастотным запросам и объемным вычислениями, так и высокую заинтересованность компании в разработках проекта и возможность практической реализации ряда результатов проекта для работы с промышленными биореакторами и кристаллизаторами. Резюмируя, план научного исследования выполнен в полном объёме. Ряд достигнутых научных результатов был представлен на тематических научных мероприятиях, опубликован в признанных научных изданиях (в том числе 2 статьи в изданиях, входящих в первый и второй квартиль) за отчётный период. Результаты работы на проектом также позволили выявить новые перспективы развития и потенциальные новые задачи в рамках текущего направления исследований как в части задач математического моделирования структурно-фазовых превращений в многокомпонентных веществах, так и в части развития разработанного научно-исследовательского сервиса (будут представлены в рамках проекта на Конкурс на продление сроков выполнения проектов на 2022-2024 гг.) *** Резюмируя, проектной группой получен ряд новых результатов в области математического моделирования структурно-фазовых превращений в многокомпонентных веществах фазово-полевыми методами, разработан научно- исследовательский сервис как платформа для решения фундаментальных и прикладных задач математического моделирования в естественных науках. Полученные в рамках проекта результаты продолжают развитие научного и технического потенциала в области исследований, отвечающей стратегии научно-технического развития Российской федерации (переход к передовым цифровым, интеллектуальным производственным технологиям, роботизированным системам, новым материалам и способам конструирования, создание систем обработки больших объемов данных, машинного обучения и искусственного интеллекта), а также значительно способствуют прикладным результатам: созданию передовых и усовершенствованию применяемых технологий, способствуя экономическому росту и социальному развитию Российской Федерации.