Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Этот проект посвящен изучению арифметических свойств конечных групп, получению арифметических характеризаций конечных групп, а также исследованию свойств графов с условиями симметрии посредством изучения арифметических свойств их групп автоморфизмов. Указанные задачи лежат в магистральном направлении современной теории конечных групп. В отчетный период получены следующие результаты: - Получена классификация конечных простых групп ^2E_6(q), в которых все подгруппы нечетных индексов пронормальны. Полученные результаты являются шагом на пути получения классификации конечных простых групп, в которых все подугрппы нечетных индексов пронормальны. Гипотеза о том, что любая подгруппа нечетного индекса пронормальна в любой конечной простой группе была выдвинута в 2012 г. Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным, в 2016 г. эта гипотеза была опровергнута А.С. Кондратьевым, руководителем проекта и Д.О. Ревиным, проблема получения классификации конечных простых групп, в которых все подгруппы нечетных индексов пронормальны, возникла естественным образом. Получение этой классификации позволит, например, достичь прогресса изучении пронормальности максимальных и субмаксимальных \pi-подгрупп для множеств \pi простых чисел, содержащих число 2. Последнее исследование является важной частью программы Х. Виланда, предложенной в 1979 г. на знаменитом Летнем институте по конечным группам в Санта-Крузе. - С точностью до сопряженности классифицированы все максимальные разрешимые подгруппы нечетного индекса в симметрических группах. Полученный результат также будет полезен для изучения свойств максимальных и субмаксимальных \pi-подгрупп для множеств \pi простых чисел, содержащих число 2. - Получена классификация максимальных подгрупп нечетных индексов в конечных почти простых группах с цоколем, изоморфным простой классической группе степени не более 12 над полем нечетной характеристики. Полученные результаты завершают классификацию максимальных подгрупп нечетных индексов в конечных почти простых группах с классическим цоколем. Классификация была предложена М. Либеком и Я. Сакслом (1985) и, независимо, У. Кантором (1987), однако, не была полной в случае, если цоколь почти простой группы является знакопеременной группой или простой классической группой над полем нечетной характеристики. - Получено полное описание конечных 4-примарных почти простых групп со связным графом Грюнберга-Кегеля, тем самым завершено описания графов Грюнберга-Кегеля конечных 4-примарных почти простых групп. Полученные результаты представляют собой удобный инструмент для дальнейшего исследования свойств конечных групп по свойствам их графов Грюнберга-Кегеля а также, например, и при исследовании групп автоморфизмов графов с условиями симметрии или регулярности. - Получено описание конечных неразрешимых групп без элементов порядка 6, графы Грюнберга-Кегеля которых как абстрактные графы изоморфны графу Грюнберга-Кегеля знакопеременной группы степени 10. Задача описания всех конечных групп, граф Грюнберга-Кегеля которых как абстрактный граф изоморфен заданному графу, нова и ранее изучалась мало, поэтому полученные результаты являются важными для дальнейшей работы в области исследования строения группы по свойствам ее графа Грюнберга-Кегеля. - Доказано, что для любого действительного числа x классы групп E_{\pi_x} и D_{\pi_x}, где \pi_x - множество всех простых чисел, строго больших х, совпадают, таким образом, полный аналог теорем Силова выполнен для \pi_x-подгрупп в любой группе, в которой существует \pi_x-холлова подгруппа. Результат лежит в русле классического направления теории конечных групп - направления исследования силовских свойств конечных групп. - Исследованы дистанционно регулярные графы с массивом пересечений {nm-1,nm-n+m-1,n-m+1;1,1,nm-n+m-1}: доказано, что если существует такой граф, то число n-m делит nm-1, число n-m+1 делит (nm-1)n^2m^2 и для t=(nm-1)/(n-m) верно неравенство nm-n+m-1\le t^2; получено описание простых спектров групп автоморфизмов таких графов; доказано несуществование дистанционно регулярных графов с массивами пересечений {160,144,17;1,1,144} (n=23, m=7), {650,640,11;1,1,640} (n=31, m=21) и {714,672,43;1,1,672} (n=55, m=13); доказано несуществование реберно симметричных дистанционно регулярных графов с массивами пересечений {90,84,7;1,1,84} (n=13, m=7), {220,216,5;1,1,216} (n=17, m=13), {272,264,9;1,1,264} (n=21, m=13). Изучение дистанционно регулярных графов по свойствам их массивов пересечений и решение проблемы существования дистанционно регулярных графов с заданным массивом пересечений, в том числе посредством изучения арифметических свойств групп автоморфизмов таких графов, являются важными направлениями в современной алгебраической комбинаторике.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Этот проект посвящен изучению арифметических свойств конечных групп, получению арифметических характеризаций конечных групп, а также исследованию свойств графов с условиями симметрии посредством изучения арифметических свойств их групп автоморфизмов. Указанные задачи лежат в магистральном направлении современной теории конечных групп. В отчетный период получены следующие результаты: - Получена классификация конечных простых групп E_6(q), в которых все подгруппы нечетных индексов пронормальны, тем самым завершена классификация конечных простых исключительных групп лиева типа, в которых все подгруппы нечетных индексов пронормальны. Полученные результаты являются шагом на пути получения классификации конечных простых групп, в которых все подугрппы нечетных индексов пронормальны. Гипотеза о том, что любая подгруппа нечетного индекса пронормальна в любой конечной простой группе была выдвинута в 2012 г. Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным, в 2016 г. эта гипотеза была опровергнута А.С. Кондратьевым, руководителем проекта и Д.О. Ревиным, проблема получения классификации конечных простых групп, в которых все подгруппы нечетных индексов пронормальны, возникла естественным образом. Получение этой классификации позволит, например, достичь прогресса изучении пронормальности максимальных и субмаксимальных \pi-подгрупп для множеств \pi простых чисел, содержащих число 2. Последнее исследование является важной частью программы Х. Виланда, предложенной в 1979 г. на знаменитом Летнем институте по конечным группам в Санта-Крузе. - Получено решение вопроса пронормальности всех подгрупп нечетных индексов в прямом произведении конечного множества конечных простых симплектических групп над полями нечетных характеристик. Получен критерий пронормальности подгруппы нечетного индекса в прямом произведении конечного множества конечных групп специального вида. Вопрос пронормальности заданной подгруппы в заданной группе представляет интерес как для теории групп, так и для ее приложений, поскольку многие вопросы в теории групп, теории групп подстановок и алгебраической комбинаторике были решены в терминах пронормальности (см. работы L. Babai, P. Palfy, Ch. Praeger и др.). Вопрос о пронормальности подгруппы H данной группы G, которая содержит в себе меньшую подгруппу S, заведомо пронормальную в G (как пример, любая подгруппа H нечетного индекса в конечной группе G содержит в себе силовскую 2-подгруппу S группы G, которая ввиду теорем Силова пронормальна в G), является естественным ввиду результатов Ф. Холла 1960-х годов. Ранее А.С. Кондратьевым, руководителем проекта и Д.О. Ревиным был предложен алгоритм частичной редукции вопроса пронормальности произвольной подгруппы нечетного индекса в конечной группе к вопросам пронормальности некоторых подгрупп нечетных индексов в ее неабелевых главных факторах, которые являются прямыми произведениями попарно изоморфных неабелевых простых групп. Таким образом, полученные в рамках реализации данного проекта результаты о пронормальности подгрупп нечетных индексов в прямых произведениях конечных групп являются важным шагом на пути исследования вопроса пронормальности произвольной подгруппы нечетного индекса в некоторой конечной непростой группе. - Доказано, что если конечная группа однозначно определяется изоморфным типом своего графа Грюнберга-Кегеля, то она почти проста. При этом построены новые примеры конечных простых групп, которые однозначно определяются изоморфным типом своего графа Грюнберга-Кегеля. - Получено полное описание строения конечной неразрешимой группы G, граф Грюнберга-Кегеля которой как абстрактный граф изоморфен графу Грюнберга-Кегеля группы А_{10}, в случае, когда вершина степени 1 в графе Грюнберга-Кегеля группы G делит порядок разрешимого радикала группы G. Отметим, что задача описания всех конечных групп, графы Грюнберга-Кегеля которых как абстрактне графы изоморфны данному графу и, в частности, задача характеризации конечной группы изоморфным типом ее графа Грюнберга-Кегеля, новая, является сложной даже в случае небольших графов и требует разработки нетривиальных теоретико-групповых и комбинаторных инструментов исследования. - Доказано, что дистанционно регулярные графы с массивами пересечений {104,70,25;1,7,80} и {272,210,49; 1,15,224} не существуют, исследованы свойства локального подграфа в гипотетическом дистанционно регулярном графе с массивом пересечений {399,320,64;1,20,336}. - Доказано, что если n>70 и существует дистанционно регулярный граф \Gamma с массивом пересечений {7(n-1),6(n-2),4(n-4);1,6,28}, то число n является степенью числа 2 и \Gamma - граф билинейных форм. Если n=2^e>4, то граф билинейных форм Bil_2(3 \times e) является дистанционно регулярным графом с параметрами {7(n-1), 6(n-2), 4(n-4); 1, 6, 28}, и эти графы определяются своими параметрами с точностью до изоморфизма, кроме n=16, 32, 64. Массив пересечений {7(n-1), 6(n-2), 4(n-4); 1, 6, 28} является допустимым для любых значений n \ge 6. В 1999 г. К. Метш (K. Metsch) доказал, что если существует дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {7(n-1), 6(n-2), 4(n-4); 1, 6, 28}, который не является графом билинейных форм, то n <134. В рамках настоящего проекта данная оценка была улучшена до n<71.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Этот проект посвящен изучению арифметических свойств конечных групп, получению арифметических характеризаций конечных групп, а также исследованию свойств графов с условиями симметрии посредством изучения арифметических свойств их групп автоморфизмов. Указанные задачи лежат в магистральном направлении современной теории конечных групп. В отчетный период получены следующие результаты: - В больших (бесконечных) семействах конечных простых линейных и унитарных групп найдены непронормальные подгруппы нечетных индексов, тем самым получено продвижение на пути получения классификации конечных неабелевых простых групп, в которых все подгруппы нечетных индексов пронормальны. Гипотеза о том, что любая подгруппа нечетного индекса пронормальна в любой конечной простой группе была выдвинута в 2012 г. Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным, в 2016 г. эта гипотеза была опровергнута А.С. Кондратьевым, Н.В. Масловой и Д.О. Ревиным, проблема получения классификации конечных простых групп, в которых все подгруппы нечетных индексов пронормальны, возникла естественным образом. Получение этой классификации позволит, например, достичь прогресса изучении пронормальности максимальных и субмаксимальных \pi-подгрупп для множеств \pi простых чисел, содержащих число 2. Последнее исследование является важной частью программы Х. Виланда, предложенной в 1979 г. на знаменитом Летнем институте по конечным группам в Санта-Крузе. - Доказано, что конечная группа нераспознаваема по графу Грюнберга-Кегеля тогда и только тогда, когда существует группа с таким же графом Грюнберга-Кегеля, имеющая нетривиальный разрешимый радикал. Таким образом, получен критерий нераспознаваемости конечной группы по ее графу Грюнберга-Кегеля, аналогичный полученному ранее В.Д. Мазуровым и В. Ши критерию нераспознаваемости конечной группы по ее спектру. - Показано, что все конечные почти распознаваемые по графу Грюнберга-Кегеля группы почти просты, и доказано, что максимально возможное число почти распознаваемых по графу Грюнберга-Кегеля конечных групп с попарно совпадающими графами Грюнберга-Кегеля ограничено сверху полиномиальной функцией от количества вершин графа Грюнберга-Кегеля. Таким образом, решение вопроса разпознаваемости конечной группы по ее графу Грюнберга-Кегеля сведено к рассмотрению случаев почти простых групп, т.е. этот вопрос становится вполне обозримым, что дает надежду на его полное решение в будущем. - Получена классификация конечных разрешимых групп, графы Грюнберга-Кегеля которых как абстрактные графы изоморфны графу Грюнберга-Кегеля знакопеременной группы A_10. Граф Грюнберга-Кегеля знакопеременной группы A_10 – это граф на 4 вершинах со степенями вершин 1, 2, 2, 3 (изоморфный тип этого графа в некоторых источниках называется «лапа» или «балалайка»). - Получено описание конечных почти простых групп, графы Грюнберга-Кегеля которых равны графам Грюнберга-Кегеля неразрешимых групп Фробениуса. - Получено описание классов сопряженности X-максимальных подгрупп нечетных индексов в симметрической группе степени n в терминах X-допустимых диаграмм, представляющих число n, где X – некоторый полный класс групп, содержащий группу четного порядка. Таких диаграмм с каждым числом n ассоциировано только конечное число, и все он и могут быть легко найдены. Как следствие, получена полная классификация X-субмаксимальных подгрупп нечётного индекса в знакопеременных группах. Напомним, что согласно Виланду, подгруппа H конечной группы G называется X-субмаксимальной, если существует вложение группы G в некоторую группу G^∗, при котором G субнормальна в G^∗ и H совпадает с пересечением G и некоторой X-максимальной подгруппы группы G^∗. Задача описания X-субмаксимальных подгрупп в конечных простых группах восходит к программе Виланда, предложенной в 1979 г. на знаменитом Летнем институте по конечным группам в Санта-Крузе. - Доказано несуществование дистанционно регулярных графов с массивами пересечений {104, 81, 27; 1, 9, 78} и {20(q-2), 3(5q-9), 2q; 1, 2q, 15(q-2)}, где q принадлежит множеству {6,9,18}. Таким образом, вопрос существования Q-полиномиального граф Шилла со значением параметра b=4 сведен к вопросу существования дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {156, 120, 36; 1, 12, 117}. Напомним, что графом Шилла называется дистанционно регулярный граф диаметра 3, имеющий второе собственное значение, равное a=a_3, при этом b=k/a, где k – степень вершины в графе. - Доказано несуществование дистанционно регулярных графов с массивами пересечений {20,18,3,1;1,3,18,20} и {53, 40, 28, 16; 1, 4, 10, 28}. - Исследованы дистанционно регулярные графы с массивами пересечений {3n-1, 2n+2, n-2; 1, 1, 2n+2} и {4n-1, 3n+3, n-3; 1, 1, 3n+3}, показано, что данное семейство графов пусто. В классе массивов пересечений {mn − 1, (m − 1)(n + 1),n − m + 1; 1, 1, (m−1)(n+1)} дистанционно регулярных графов найдены все допустимые массивы пересечений, если 3 \le m \le 13. Таким образом, получен более общий результат. - Для любого q, являющегося степенью простого числа со свойством q \equiv 1 \pmod 4, построен вершинно-примитивный транзитивный на дугах вполне регулярный граф с параметрами (v,k,\lambd,\mu)=(q(q+1)/2,(q-1)/2,1,1), имеющий большую группу автоморфизмов и содержащих совершенный 1-код.