Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Развиты математические модели внутренней гидромеханики концентрированных магнитных суспензий со сферическими и стержнеобразными частицами во внешнем магнитном поле. Анализ моделей позволил установить внутренние причины экспериментально наблюдаемых N и S-образных зависимостей макроскопического (измеряемого) напряжения от скорости деформационного течения среды. Получены аналитические и численные решения разработанных моделей. Показано, что экспериментально наблюдаемые автоколебания скорости деформаций соответствуют убывающим частям этих зависимостей. Сформулирована математическая модель процесса нестационарного роста частиц в метастабильных жидкостях с учётом кинетики присоединения атомов к межфазным границам растущих частиц и зависимости температуры фазового перехода от кривизны поверхности. Модель описывает кристаллизацию неорганических и органических материалов. Определён динамический закон для скорости роста частицы в зависимости от степени метастабильности жидкости, размеров частицы, времени её роста и параметров метастабильной системы. Выведено температурное (концентрационное) распределение и определён закон роста межфазной границы с учётом кинетики присоединения атомов и эффекта Гиббса-Томсона. Выполнено сопоставление разработанной теории с экспериментальными данными. Выведены новые нелинейные дробные уравнения в частных производных для внутриклеточного транспорта коллоидных наночастиц, описывающие экспериментально наблюдаемую макроскопически неоднородную кластеризацию частиц в живых клетках. Получены новые глубоко обучающиеся нейронные сети для анализа эндо-лизосомальных траекторий и кластеров наночастиц. Теоретически определены пространственные и кластерные распределения состояний наночастиц в живых клетках. Полученные распределения наночастиц использованы для моделирования рентгеновского и протонного облучения раковых клеток. Проведена верификация развиваемых моделей их сравнением с существующими данными экспериментов по облучению раковых клеток. Была исследована трехмерная гемодинамическая модель и принципы реконструкции трехмерной геометрии пораженного сосуда по клиническим данным ангиографической диагностики. Были проведены симуляции трехмерных гемодинамических течений для одиночной артерии со стенозом, результаты симуляций сопоставлялись с данными инвазивной диагностики пациента. По полученным научным результатам написано 7 научных статей (3 статьи опубликованы, остальные рецензируются в тематических журналах), сделано 5 устных докладов, подготовлена документация для государственной регистрации программ для ЭВМ, а также сделано два новостных сообщения в СМИ со ссылками на РНФ и номер проекта.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
1. Построена теоретическая модель анизотропной диффузии магнитных наночастиц в феррожидкостях с цепочечными структурами в однородных внешних полях. Учитывалось магнитное и стерическое взаимодействие цепочек. Продемонстрировано, что это образование цепочек приводит 1) к существенному отличию эффективного коэффициента диффузии наночастиц от предсказаний классической теории Эйнштейна а также к сильной анизотропии этого коэффициента –значения коэффициента диффузии в направлении вдоль и поперек приложенного поля могут отличаться в разы. Кроме того, появление цепочек приводит к сильному отличию между значениями коэффициентов градиентной диффузии, определяющего перенос вещества в направлении градиента его концентрации, и коэффициента самодиффузии, определяющего величину смещения частицы за продолжительное время. Поскольку характерная длина цепочек зависит от локальной концентрации частиц, коэффициент диффузии феррожидкостей с цепочками является функцией этой концентрации, т.е. уравнение их массопереноса, в отличие от классического уравнения Фика, становится нелинейным. Более того, вследствие конечности времени образования – дезинтеграции цепочек, изменение локальной концентрации частиц приводит к нелокальной по времени зависимости коэффициента диффузии от этой концентрации. Это приводит к тому, что макроскопическое уравнение массопереноса становится нелокальным по времени, содержит релаксационные члены и члены памяти. Анализ магнитного взаимодействия цепочек друг с другом показал, что это взаимодействие способно очень сильно влиять на макроскопические диффузионные характеристики исследуемой системы. 2. Развита теоретическая модель нелинейных вязкоупругих свойств магнитных жидкостей с кластерными частицами, состоящими из ферромагнитных наночастиц с диаметром примерно, 10нм, объединённых в квазисферические кластеры полимерными оболочками. Такие системы представляют интерес в связи с открывающимися перспективами их активного применения в различных технологиях в качестве магнитоактивных сред, реофизическими свойствами и поведением которых можно эффективно управлять при помощи внешнего магнитного поля; а также в связи с перспективами их эффективного применения в магнитогипертермической терапии онкологических заболеваний. При реализации этого этапа нами была развита теоретическая модель медленной вязкоупругой релаксации магнитных жидкостей с кластерными цепочками во внешнем однородном магнитном поле. Модель основана на концепции, что наблюдаемая в экспериментах медленная релаксация объясняется конечным временем переориентации цепочек при изменении скорости деформационного течения среды. Математически модель состоит из двух частей. Первая – расчёт статистического распределения по размерам цепочек во внешнем поле. Модель основана на построении свободной энергии системы в виде функционала от функции распределения цепочек по размерам с учётом разрушения цепочек вязкими гидродинамическими силами. Распределение цепочек по размерам определяется минимизацией этого функционала с учётом сохранения полного числа частиц в системе. Во второй части модели решается задача о кинетике переориентации цепочек во внешнем сдвиговом потоке. В результате этих расчётов вычислены модули накопления и потерь энергии жидкости, зависимости этих модулей от внешнего магнитного поля и от характеристик системы (размера и концентрации кластерных частиц, свойств несущей жидкости). Полученные теоретические результаты по порядку величины воспроизводят эксперименты, полученные в 2021 году в Университете Латвии. 3. В рамках проекта построена теория зарождения и роста микрокристаллов в неравновесных переохлаждённых и пересыщенных жидкостях при рассмотрении флуктуаций в скоростях их роста. Флуктуации учитываются с помощью кинетического уравнения второго порядка для функции распределения кристаллов по радиусам. Кроме этого, модель учитывает нестационарность теплового (концентрационного) распределения вокруг каждого растущего кристалла, а также сдвиг температуры фазового превращения на его межфазной границе (эффект Гиббса-Томсона) и кинетику присоединения частиц к этой границе. Построено аналитическое решение интегродифференциальной модели для различных кинетик зарождения кристаллов. В случае кинетики Майера найдено точное аналитическое решение модели в параметрическом виде. Построенная теория сопоставлена с экспериментальными данными: для реальных систем показано, что меньшее пересыщение соответствует большему размеру и меньшей скорости роста кристаллов. 4. Построена общая математическая модель роста неоднородности с учётом пространственно-зависимого аномального показателя в нелокальном транспорте, описываемом дробно-дифференциальным управляющим уравнением переменного порядка с дробной производной Римана-Лиувилля. Было найдено его асимптотическое решение, описывающее неоднородный рост (кластеризация частиц) за счет пространственно-зависимой дробной экспоненты. В непрерывном пределе по мере приближения ширины субинтервалов к нулю было показано, что решение этого главного уравнения сходится с решением пространственно-зависимого уравнения дробной диффузии переменного порядка. Это решение, описывающее неоднородное распределение и рост чатиц, было подтверждено численным моделированием методом Монте-Карло. Было показано, что распределение плотности лизосом в раковых клетках соответствует асимптотической функции плотности вероятности, которая является решением пространственно-зависимой дробной диффузии переменного порядка и основным уравнением (master equation). Выполнена адаптация модели аномального транспорта в формальной технике дробных производных к экспериментальным данным на раковым клетках HeLa M, полученным авторами в Манчестерском университете. Принято участие в конференциях с докладами, а также участие в организации Национального суперкомпьютерного форума (исполнители проекта – члены оргкомитета: https://2021.nscf.ru/nauchno-prakticheskaya-konferenciya/orgkomitet/). В 2021 году по приглашению редакции журнала «Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences» (Q1, импакт-фактор 4.226) был подготовлен тематический выпуск (https://royalsocietypublishing.org/toc/rsta/2021/379/2205), куда вошли несколько статей исполнителей настоящего проекта со ссылками на Российский научный фонд. О работе по проекту было подготовлено новостное сообщение в СМИ со ссылкой на данный проект Российского научного фонда: https://urfu.ru/ru/events/10977/

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
В рамках проекта выполнялись работы по аномальному и нелинейному транспорту в гетерогенных и биологических системах. Все запланированные исследования проведены в полном объёме. А именно, были проведены следующие работы и получены научные результаты. 1. Развита теоретическая модель течения феррожидкости с нанодисперсными однодоменными частицами в канале переменного сечения (с сужением), моделирующего кровеносный сосуд со стенозом. Предполагалось, что вне канала находится постоянный магнит, создающий магнитное поле в области, близкой к сужению (стенозу). Решения показывают, что в канале за «стенозом» образуются замкнутые гидродинамические вихри, в которых, в присутствии неоднородного магнитного поля, создаваемого внешним магнитом, происходит захват и удержание магнитных наночастиц. В результате за стенозом локальная концентрация магнитных частиц оказывается существенно выше, чем в остальной части канала. Это повышение концентрации может быть зафиксировано современными детекторами локальной намагниченности. Развитая программа компьютерного решения уравнений модели позволяет определять зависимость величины повышения концентрации частиц за стенозом от степени перекрытия им канала (кровеносного сосуда). Это создает возможность бесконтактного детектирования местоположения стеноза в коронарной артерии и размера стеноза перемещением, вдоль артерии, постоянного магнита и измерением локальной намагниченности крови, в которую вводится феррожидкость с биосовместимыми магнитными наночастицами с биологически безопасной концентрацией. 2. Построена новая теория роста дендритных кристаллов в метастабильной многокомпонентной области фазового перехода при наличии конвекции. Сформулирована новая математическая модель тепломассопереноса для многокомпонентного вязкого расплава, обтекающего параболический (двумерный случай) или параболоидальный (трёхмерный случай) дендритный кристалл. Были выведены стационарные распределения концентраций примеси и температуры вокруг растущего кристаллита с учётом гидродинамического течения жидкости, определены значения температуры и концентраций примеси на поверхности дендрита. Гидродинамическое течение вязкой жидкости моделировалось с помощью уравнений Осеена. На основе квазистационарных решений было определено полное переохлаждение многокомпонентного расплава в зависимости от скорости роста дендритов и их характерного размера (диаметра) вершин. Было выведено условие микроскопической разрешимости, определяющее устойчивую моду роста анизотропных дендритных кристаллов в окрестности стационарных решений с параболической/параболоидальной формой. Это условие содержит маргинальную моду волнового числа, определяющего наиболее опасные (быстрорастущие морфологические возмущения). Для её определения был проведён линейный анализ морфологической устойчивости и поверхность нейтральной устойчивости. Это позволило вывести отборное соотношение (критерий) устойчивого роста дендритов. Отборное соотношение является вторым уравнением, связывающим между собой скорость роста дендритных кристаллов и характерный диаметр их вершин с полным переохлаждением (пересыщением) системы. Была проанализирована система двух нелинейных управляющих уравнений для устойчивых скоростей роста вершин дендритов и их диаметров в зависимости от переохлаждения/пересыщения и числа Рейнольдса. Эта система определяет морфологические переходы в твёрдом материале в зависимости от параметров кристаллизующегося вещества. Было выполнено сопоставление развитой теории с экспериментальными данными по кристаллизации переохлаждённых капель в электромагнитных левитаторах и фазово-полевым моделированием. Показано, что развитая теория хорошо соответствует эксперименту и компьютерным вычислениям. 3. Развита новая теория для описания совместного роста частиц твердой фазы и дендритоподобных агрегатов в метастабильных жидкостях в условиях гидродинамических течений. Сформулирована нелинейная система уравнений тепломассопереноса в областях, занятых твёрдой фазой, двухфазной областью и жидкой фазой. На межфазных границах «твёрдая фаза – двухфазная область» и «двухфазная область – жидкая фаза» сформулированы граничные условия баланса потоков тепла и концентрации примеси с учётом тепловыделения и вытеснения примеси при росте твёрдой фазы. Новизной этой модели является учёт медленного течения расплава/раствора в направлении двухфазной области. Гидродинамическое течение в двухфазном слое описывается с помощью уравнения Дарси, учитывающего проницаемость материала. Аналитически были определены распределения температуры и концентрации примеси во всех регионах системы (твёрдом, двухфазном и жидком), доля твёрдой фазы в двухфазной области, положения и скорость движения границ двухфазной области, её протяжённость, проницаемость и среднее междендритное расстояние. Построенные решения зависят от интенсивности потока расплава, натекающего на двухфазную область, а также от физических свойств материала. Таким образом, развитая теория учитывает процесс фазового превращения с двухфазной областью и может быть применена для описания кристаллизации биологической активности среды (например, кристаллизация белков, инсулинов и различных лекарственных препаратов). Было проведено исследование влияние интенсивности течения расплава на построенное решение (были исследованы оптимальные режимы кристаллизации для удержания двухфазной зоны в целевом диапазоне величин). 4. Предложена мезоскопическая теория случайных немарковских блужданий для описания аномального нелокального массопереноса частиц, описывающего движение биологических частиц таких, как органеллы внутри клетки и раковые клетки. Теория основана на нелокальных гиперболических уравнениях, включающих дробные производные. Эти уравнения были выведены из анализа микроскопических моделей движения клеток и органелл с учётом конечности скорости движения. Был проведён численный анализ этих уравнения при использовании методов Монте-Карло. Расчёты моментов показали, что модель генерирует аномальную супердиффузию на промежуточных временах и стремится к аномальной субдиффузии в асимптотическом пределе больших времён. Новые гиперболические уравнения с дробными производными позволяют изучать кемотаксис и аномальную агрегацию клеток. 5. Развита математическая модель эволюции магнитной жидкости, находящейся в термодинамически абсолютно неустойчивом состоянии во внешнем магнитном поле. Концентрационные флуктуации в этом состоянии не диссипируют, а прогрессируют, приводя к спинодальному распаду феррожидкости. В математическом отношении модель представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных, которая, в континуальном приближении, описывает изменение концентрации наночастиц и локальную намагниченность феррожидкости. Показано, что возникающие длинноволновые корреляции концентрации и намагниченности приводят к тому, что континуальные уравнения переноса частиц содержат пространственные производные третьего и четвертого порядка по их концентрации, а уравнения для локальной намагниченности частиц – пространственные производные от компонент локального магнитного поля и концентрации частиц. Результаты работы по проекту в 2022 году были опубликованы в 10 статьях (4 из них в журналах из Q1, 5 – в журналах из Q2), одна статья принята к печати в журнал из Q2, сделано 5 докладов на конференциях. Результаты исследований получили освещение в СМИ: https://radiokp.ru/ekaterinburg/podcast/otdelnaya-tema-ekaterinburg/645555 (радиоэфир ведущего учёного, профессора С.П. Федотова) https://urfu.ru/ru/news/43541/ https://nauka.tass.ru/nauka/15685431?utm_source=yxnews&utm_medium=desktop https://rg.ru/2022/09/08/reg-urfo/fiziki-i-matematiki-rasschitali-kak-virusy-raspredeliaiutsia-v-kletkah.html?utm_source=yxnews&utm_medium=desktop https://rg.ru/2022/08/22/reg-urfo/na-urale-usovershenstvuiut-metod-dostavki-lekarstv-v-kletki-s-pomoshchiu-nanochastic.html