Аннотация результатов, полученных в 2021 году
1) Для двумерной модели Голдбетера энзимной кинетики с нелинейной рециркуляцией продукта в субстрат выявлен механизм индуцированной шумом генерации большеамплитудных стохастических осцилляций в зоне устойчивых равновесий и стохастических переходов в зоне сосуществующих равновесных и автоколебательных аттракторов. В зоне моностабильности обнаружена связь явления стохастического возбуждения с наличием у детерминированной модели так называемых транзиентных осцилляционных аттракторов. В зоне бистабильности обнаружено явление стохастической генерации колебаний смешанных мод. Для этих явлений получено параметрическое описание статистик межспайковых интервалов, плотностей вероятностных распределений и соответствующих P-бифуркаций. Для аналитического описания этих явлений эффективно применен метод доверительных областей. 2) Для распределенного варианта модели Селькова гликолитической реакции выявлено и статистически описано явление мультистабильности и проведен параметрический анализ формирования паттернов и индуцированных шумами многоступенчатых переходов с использованием аппарата гармонических коэффициентов. 3) Для модели Ли-Ринцеля кальциевых колебаний получена классификация режимов динамики, описаны локальные и глобальные бифуркации, выявлены параметрические зоны равновесных и осцилляционных режимов. Для стохастического варианта модели дано вероятностное описание частотных и амплитудных характеристик кальциевых осцилляций. В зоне сосуществования равновесных и автоколебательных режимов обнаружено и исследовано явление предпочтения (“preference”) в процессах индуцированных шумами переходов между ними. 4) Для нейронной двумерной модели Рулькова с разрывным отображением выявлен вероятностный механизм многоступенчатых переходов между сосуществующими циклами разных периодов под действием шума. Построено статистическое описание характеристик таких переходов и доминант в их направленности. На основе аппарата стохастической чувствительности и доверительных эллипсов получены оценки критических интенсивностей шума, вызывающего переходы из бассейна одного осцилляционного аттрактора в другой. 5) Для стохастической дискретной нейронной модели Киалво дано параметрическое описание равновесных и осцилляционных режимов в зависимости от изменения параметра силы ионного тока, локализованы бифуркации жесткого (седлоузловая) и мягкого (Неймарка-Сакера) рождения квазипериодических осцилляций. Показан переход от квазигармонических колебаний к осцилляциям спайкового типа. Для зоны бистабильности дано описание процесса возбуждения и подавления спайковых осцилляций, связанного с индуцированными шумами переходами между равновесными и квазипериодическими аттракторами. 6) Для трёхмерной модели Хиндмарш-Роуз с бифуркацией Лукьянова-Шильникова исследованы стохастические деформации спайковых и берстовых осцилляционных режимов нейронной активности с помощью развиваемой в проекте техники функций стохастической чувствительности, метрики Махаланобиса, аппарата псевдосепаратрис и доверительных областей. Обнаружено и исследовано явление когерентного резонанса и индуцированных шумом переходов от порядка к хаосу. 7) Построена и исследована динамическая модель, учитывающая нелинейное взаимодействие иммунных и опухолевых клеток в условиях химиотерапиии случайных возмущений. Были описаны параметрические зоны моно-, би- и три-стабильности и найдены оценки дозы химиотерапии, обеспечивающей как удержание системы в режиме «спящей» опухоли, так и ее полное подавление. Выявлены условия, при которых случайные возмущения играют позитивную роль, подавляя опухоль, и негативную роль, вызывая ее рост. Была построена и исследована модель, учитывающая важный фактор негативного воздействия химиотерапии на здоровые клетки. 8) Для иерархической модели трех взаимодействующих популяций «жертва-хищник-топ хищник» получены сравнительные оценки условий стохастического возбуждения при разных типах мультипликативных шумов. Дано параметрическое описание переходов от порядка к хаосу и исследован феномен многоступенчатого последовательного вымирания популяций. 9) Для трехмерной эко-эпидемиологической модели взаимодействия популяций «хищник-жертва» с учетом Олли эффекта получено описание бифуркационных сценариев с зонами би- и полиритмичности и сосуществованием регулярных и хаотических аттракторов. Выявлены предпочтительные (преференсные) режимы, возникающие в присутствии случайных помех. Получены оценки критических значений интенсивности случайных возмущений, вызывающих вымирание популяции. 10) Для системы двух популяций, связанных взаимной миграцией, получено параметрическое описание вариативности динамики, связанной с формированием циклов различных периодов, квазипериодических и хаотических осцилляции. Для стохастического варианта этой метапопуляционной модели исследованы феномены раззрушения антифазной синхронизации, стохастического подавления колебаний со стабилизацией неустойчивого равновесия, вымирания популяций, индуцированного шумом перехода к хаосу. Выявлена важная роль транзиентных хаотических аттракторов и фрактальной структуры бассейнов притяжения. 11) На базе нелинейной динамической модели "климат-вегетация" выявлены вероятностные механизмы вызываемых шумами систематических сдвигов глобальной температуры. Показано, что аддитивный шум увеличивает, а мультипликативный шум снижает температуру вплоть до замерзания. Для объяснения вероятностного механизма этого явления была развита теория фантомных аттракторов, использующая технику замораживания медленной переменной и усреднения по быстрой. 12) Для трехмерной модификации стохастического варианта модели Люо-Руди сердечного потенциала действия в области равновесных режимов получено параметрическое описание статистических характеристик генерируемых шумом колебаний. Обнаружены и исследованы феномены когерентного резонанса стохастических колебаний с ранней постдеполяризацией (РПД), а также их подавление шумом. 13) Разработан математический аппарат, построены алгоритмы и созданы программы, позволяющие проводить конструктивный параметрический анализ новых стохастических феноменов, связанных с пространственными регулярными и хаотическими аттракторами в следующих трехмерных моделях: модели Голдбетера энзимной реакции, нейронной модели Хиндмарш-Роуз, популяционной модели жертва-два хищника, эко-эпидемиологической модели и модели ранней деполяризации в сердечной активности. Развита теория фантомных аттракторов в стохастических быстро-медленных системах с привлечением метода замораживания медленной переменной и усреднения быстрой. 14) Разработаны конструктивные алгоритмы для нахождения внешних границ хаотических аттракторов двумерных систем с дискретным временем, основанные на геометрическом отборе точек критических линий, принадлежащих только внешней границе. Решена задача описания доверительных областей вокруг хаотических аттракторов стохастических систем. 15) Для стохастических распределенных диффузионных моделей развита теория и построены конструктивные алгоритмы по параметрическому описанию и анализу стохастической чувствительности паттернов-аттракторов, генерируемых в зоне неустойчивости Тьюринга. Построенная теория эффективно применена к сравнительному анализу реакции паттернов на случайные возмущения в планктонной модели Левина-Сегеля.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
1) Для двумерной модели ферментативной реакции выявлен механизм стохастической генерации фантомного аттрактора, порождающей под действием мультипликативных шумов систематический сдвиг вероятностных распределений в зону, где невозмущенная детерминированная модель не имеет никаких аттракторов. На основе развитой теории «замораживания и усреднения» получено параметрическое описание этих сдвигов. Дано аналитическое описание фантомного аттрактора для более сложной модели, учитывающей нелинейную рециркуляцию продукта в субстрат. 2) Для трехмерной модели ферментативной реакции, учитывающей взаимодействие субстрата и двух продуктов, дано параметрическое описание зон мультистабильности с периодическими и хаотическими аттракторами. Исследован механизм стохастической генерации пачечных осцилляций со сложной геометрией. Проведен амплитудно-частотный анализ этих осцилляций с привлечением статистик интербёрстовых интервалов. Выявлена роль транзиентных аттракторов в формировании геометрических свойств новых пачечных осцилляций, обнаружено и исследовано явление перемежаемости зон пачечных и регулярных осцилляций. Получено параметрическое описание переходов между порядком и хаосом. 3) На базе диффузионного варианта концептуальной гликолитической модели Селькова было получено параметрическое описание явления стохастической генерации пространственно-неоднородных паттернов в зоне Тьюринговской устойчивости, где детерминированная модель демонстрирует только гомогенное равновесие. Для анализа разнообразия пространственных форм генерируемых паттернов были разработаны новые статистические характеристики, позволившие выявить доминирующие структуры в стохастическом потоке и рассчитать относительное время их существования. 4) Для модели Ли-Ринцеля кальциевых колебаний с частотной модуляцией локализованы зоны глобальных бифуркаций в зависимости от параметра концентрации инозитолтрифосфата (IP3). Получено описание сценариев стохастической возбудимости, проведен их параметрический анализ с помощью статистик (среднее, коэффициент вариации) межспайковых интервалов. Даны оценки интенсивности шума, вызывающего возбуждение кальциевых осцилляций, в том числе наиболее когерентных. Выявлена особая роль устойчивых многообразий седловых равновесий как сепаратрис, разделяющих до- и надпороговые зоны в процессе стохастического возбуждения. Применительно к анализу кальциевых осцилляций развит и применен аналитический метод стохастической чувствительности и техника доверительных областей. 5) Для нейронной двумерной модели Рулькова, задаваемой дискретным разрывным отображением, получено параметрическое описание явления фантомного аттрактора. Выявлена зависимость направления и величины сдвига такого аттрактора от интенсивности случайных возмущений. Впервые для дискретных систем получено теоретическое обоснование этого феномена с использованием развитой математической техники замораживания и усреднения. 6) Для дискретной нейронной модели Киалво со случайными возмущениями проведен параметрический анализ и выявлены механизмы стохастической возбудимости осцилляций спайкового типа. Разработан метод оценивания критических интенсивностей шумов, вызывающих генерацию осцилляций смешанных мод, на основе анализа взаимного расположения сепаратрис (псевдосепаратрис) и доверительных эллипсов. Дано параметрическое описание трансформаций порядок-хаос-порядок при изменении силы ионного тока и интенсивности случайных возмущений. 7) Для модели Хиндмарш-Роуз нейронной активности получено параметрическое описание индуцированных шумом переходов в зоне биритмичности с сосуществующими пачечными предельными циклами с разным количеством спайков в бёрсте. Выявлены участки предельных циклов, на которых такие переходы наиболее вероятны, получены оценки соответствующих критических интенсивностей шума. Исследованы переходы от порядка к хаосу. С помощью метрики Махаланобиса локализованы критические участки предельных циклов, где стохастические переходы наиболее вероятны. 8) На основе модели динамического взаимодействия иммунных и опухолевых клеток выявлены характерные сценарии результатов воздействия случайных возмущений на поведение системы в условиях химио- и радиотерапии. Для зон моно-, би- и три-стабильности дано параметрическое описание стохастических переходов между равновесными и осцилляционными режимами опухолево-иммунной динамики. Выявлена роль транзиентных полуаттракторов в анализе механизмов стохастических переходов, параметрически описана зона, где случайные возмущения подавляют популяцию опухолевых клеток. 9) Для трехмерной иерархической популяционной модели Базыкина-Апониных проведен бифуркационный анализ, описаны параметрические зоны сосуществования равновесных, регулярных и хаотических осцилляционных режимов. Выявлены механизмы многоэтапных стохастических переходов между режимами, порождающих колебания смешанных мод и вымирание популяций. Выявлены условия, при которых случайные возмущения могут перевести систему в хаотический режим. 10) Для трехмерной эпидемиологической модели «хищник-жертва», в которой популяция хищников подвержена инфекции, описаны стохастические переходы между сосуществующими равновесными и осцилляционными режимами. С использованием аппарата функции стохастической чувствительности проведен анализ чувствительности аттракторов системы к вносимым случайным возмущениям и выявлены условия, при которых шум играет положительную роль в оздоровлении популяции. 11) Получено параметрическое описание вариативности режимов стохастической корпоративной динамики в метапопуляциях, где локальные подсистемы находятся как в одинаковых, так и различных динамических режимах (равновесных, осцилляционных, хаотических). Для случая метапопуляции, состоящей из равновесных и хаотических подсистем, детально исследованы возможные локальные и глобальные бифуркации, дана классификация возможных динамических режимов с моно- и бистабильностью. Выявлена особая роль фрактальных бассейнов, взаимное расположение границ которых с доверительными областями позволяет оценить интенсивность шума, приводящего к критическим явлениям. 12) Для дискретной модели, учитывающей нелинейное взаимодействие здоровой и инфицированной частей популяции, выявлены и локализованы зоны мультистабильности, построены бассейны притяжения аттракторов, отвечающих режимам выздоровления, вымирания и динамического баланса. Выявлена роль сложных транзиентов в описании динамики системы на конечных отрезках времени. Получено описание возможных новых эффектов в расширенной стохастической модели и выявлены вероятностные механизмы индуцированных шумами переходов между сосуществующими динамическими режимами. 13) Для трехмерной модели Люо-Руди сердечного потенциала действия дано параметрическое описание результатов воздействия случайных возмущений на малоамплитудные предельные циклы в зоне циклов-канардов и локализован цикл-канард с максимальной чувствительностью. С использованием метрики Махаланобиса и доверительных областей выявлен механизм стохастического расщепления осцилляций, сигнализирующего об усложнении осцилляторной активности сердца. 14) Развиты новые разделы теории по стохастическому анализу трехмерных динамических систем со сложными осцилляционными аттракторами с использованием аппарата доверительных областей и метрики Махаланобиса. Получила развитие теория фантомных аттракторов в дискретных и непрерывных стохастических системах. Развита теория стохастической чувствительности пространственных негомогенных паттернов диффузионных систем и на ее основе разработаны конструктивные алгоритмы анализа переходов между сосуществующими аттракторами. Разработаны методы анализа механизмов стохастических переходов в системах с транзиентными аттракторами и фрактальными бассейнами с приложением к дискретным динамическим моделям.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
1) Для трехмерной модели Голдбетера ферментативной реакции выявлена параметрическая зона сосуществования предельных циклов разных амплитуд и частот. Развита техника стохастической чувствительности многомерных осцилляторных аттракторов и метод главных направлений. С помощью этой теории и разработанных конструктивных алгоритмов выявлен вероятностный механизм генерации шумом тороидальных мультиритмичных колебаний и переходов от порядка к хаосу. Исследована связь феномена вызванной шумом генерации тороидальных колебаний и стохастических Р-бифуркаций. 2) Для пространственно-распределенной модели Селькова-Строгаца выявлены условия, при которых диффузия подавляет гликолитические гомогенные автоколебания и формирует негомогенные стационарные паттерны – аттракторы. Получено параметрическое описание амплитудных и пространственных характеристик формируемых стационарных паттернов. Проведен статистический анализ разнообразия паттернов с привлечением аппарата гармонических коэффициентов и энтропии Шеннона, получены параметрические карты мультистабильности. 3) Для распределенного варианта диффузионной гликолитической модели Селькова-Строгаца в двумерной пространственной области исследованы процессы формирования паттернов. Получено параметрическое описание переходных процессов, мультистабильности, геометрического разнообразия и основных характеристик формируемых паттернов. 4) На базе модели Ли-Ринцеля выявлены условия, при которых кальциевые осцилляции возникают в результате жесткой бифуркации рождения цикла. Локализована параметрическая зона бистабильности с сосуществованием равновесного и автоколебательного режимов. В результате проведенных исследований выявлен вероятностный механизм стохастических трансформаций кальциевых релаксационных автоколебаний и дано параметрическое описание статистик спайковых осцилляций. 5) Для трёхмерной модели нейрона Морриса-Лекара-Термана построена детальная бифуркационная диаграмма и локализованы зоны спайкинга (тонического и амплитудно-модулированного) и бёрстинга. Дана оценка бифуркационного значения, отвечающего рождению торов-канардов. Выявлены механизмы стохастической генерации бёрстовых колебаний тороидального типа в зоне тонического спайкинга. Найдены зависимости вероятности этого феномена от интенсивности случайных возмущений, исследовано явление когерентного резонанса. 6) Для нейронной модели, задаваемой двумерным дискретным отображением Рулькова, найдена параметрическая зона, в которой возможны динамические режимы, сочетающие медленную регулярную фазу и активную фазу бёрстов треугольного и трапецеидального вида. С помощью метода критических кривых локализована зона фазовой плоскости, где происходят трансформации треугольного бёрста в трапецеидальный. Для стохастической системы обнаружен эффект расщепления тонических спайков с генерацией колебаний смешанных мод. Выявлен геометрический механизм индуцированной шумом трансформации треугольного бёрстинга в бимодальный с трапецеидальными фазами. Получено параметрическое описание статистик межспайковых и межбёрстовых интервалов, локализованы зоны когерентного и антикогерентного резонанса. 7) Для системы двух нейронов, задаваемых дискретным отображением Рулькова и однонаправленно связанных через химический синапс, получено описание возможных режимов совместной динамики при вариации трех управляющих параметров: параметра, отвечающего за тип динамического поведения изолированного нейрона, параметра силы связи, а также интенсивности случайных возмущений. Локализованы параметрические зоны с различными сценариями трансформаций динамики от устойчивого равновесия до хаоса, включая моно-, би- и тристабильность, переходы порядок-хаос и наоборот, сосуществование софазных и противофазных режимов синхронизации. Получены статистические характеристики длительности интервалов синхронизации при переходах от софазного к противофазному режиму. 8) На базе трехмерной математической модели динамического взаимодействия опухолевых, иммунных и здоровых клеток, получено параметрическое описание бифуркаций и динамических режимов в зависимости от параметра активности иммунной системы и от интенсивности терапии. Дан обзор характерных сценариев опухолево-иммунной динамики, а также их трансформаций, вызываемых терапевтическими воздействиями. Выявлен механизм трансформации простых равновесных режимов взаимодействия опухолевых, иммунных и здоровых клеток в сложные осцилляторные спайковые и хаотические режимы при увеличении интенсивности терапии. Полученные результаты анализа данной модели будут полезны для лучшего понимания сложных процессов изменения опухоли на фоне химиотерапии. 9) Для четырёхмерной модификации модели Люо-Руди сердечной активности проведен детальный бифуркационный анализ, локализованы суб- и суперкритические бифуркации, а также бифуркация добавления спайков. Для стохастического варианта модели с мультипликативными шумами получено параметрическое описание феноменов, связанных с качественной деформацией потенциала действия. Дана математическая трактовка этих феноменов в терминах стохастических P- и D-бифуркаций и биологическая интерпретация возникновения ранних постдеполяризаций под действием шума. 10) Для системы двух связанных популяций, демонстрирующих в условиях изоляции периодические режимы, получено параметрическое описание возможных бифуркаций, возникающих при увеличении интенсивности взаимных перетоков. Локализованы параметрические зоны, отвечающие софазным и противофазным режимам совместной динамики с периодическими, квазипериодическими и хаотическими осцилляциями. Для случаев бистабильности построены бассейны притяжения сосуществующих аттракторов. Выявлена роль транзиентных аттракторов и фрактальных бассейнов в анализе вызванных шумами переходов между софазными и противофазными режимами, а также между порядком и хаосом. 11) Для четырехмерной эпидемиологической модели «жертва-хищник-топ хищник» с разделением популяции хищников в трофической цепочке на здоровых и инфицированных выявлены параметрические зоны равновесных, осцилляционных (регулярных и хаотических) режимов с зонами спайкинга и бёрстинга. Локализована параметрическая зона со смешанным характером динамики, где обнаружен хаотический бёрстинг с различным числом спайков в активной зоне. Построены параметрические диаграммы для вызванных случайными параметрическими возмущениями переходов между порядком и хаосом, найдена связь со стохастическими P- и D-бифуркациями. 12) Разработаны методы моделирования и анализа динамических систем с биологически мотивированными цветными шумами. Для модели Ли-Ринцеля получено параметрическое описание вызванного цветным шумом возбуждения спайковых кальциевых осцилляций при вариации интенсивности и времени корреляции. Выявлен эффект стохастических резонансов и локализованы их параметрические зоны. 13) Разработаны алгоритмы для исследования процессов самоорганизации для распределенных диффузионных моделей в случае двумерных пространственных областей. Для популяционной и гликолитической моделей описано разнообразие формируемых паттернов – аттракторов и переходных процессов в зоне тьюринговской неустойчивости, проанализирована степень мультистабильности и зависимость геометрии паттернов от соотношения диффузионных коэффициентов. 14) Разработан подход, позволяющий свести проблему предотвращения экологических сдвигов, вызываемых случайными возмущениями, к математической задаче синтеза аттракторов с наперед заданным пониженным значением стохастической чувствительности. Решены задачи управляемости и достижимости, а также построен алгоритм синтеза регулятора, стабилизирующего стохастическую популяционную модель с Олли эффектом и позволяющего избежать вызванного демографическим шумом вымирания популяции.